• Il en résulte que si F est une primitive de f et si a ∈ I, alors la fonction x → F(x) − F(a) est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Théorème. Soit I un intervalle ouvert et soit f : I → R une fonction continue.
® Pour tout a ∈ I, la fonction F : I →R définie par F(x) =
x
a f (t)dt est une primitive de f.
® Pour toute primitive G de f et pour tous a,b ∈ I, on a
b
a
f (t) dt = G(b) − G(a)
Démonstration. Pour voir que F est une primitive de f, on doit montrer, pour
tout x 0 ∈ I, que F est dérivable en x 0 et que F
(x 0 ) = f (x 0 ). D’après la relation de Chasles, F(x) − F(x 0 ) =
x
x 0
f (t)dt. Supposons x 0 = 0 pour simplifier. Puisque f est continue, on a le développement limité à l’ordre 0 :
f (x) =
x→0
f (0) + u(x) , où lim
x→0
u(x) = 0 (page 47).
Intégrons de 0 à x > 0 :
F(x) − F(0) =
x
0
(t) f dt =
x
0
f (0) + u(t)
dt
=
x
0
f (0) dt +
x
0
u(t) dt
F(x) − F(0) = f (0)x +
x
0
u(t) dt
(1)
Par définition de la limite, pour tout nombre ε > 0, il existe α > 0 tel qu’on ait
l’implication
t ∈ [0,α] ⇒
u(t)
ε
Utilisons la proposition page 103 et la propriété (d) page 102. Pour tout
x ∈ [0,α], on a alors
x
0
u(t) dt
x
0
u(t)
dt
x
0
εdt = εx
Par suite
1
x
x
0 u(t) dt
ε pour tout x ∈ I tel que 0 < x α.
Par définition de la limite, cela veut dire que lim
x→0
x>0
1
x
x
0
u(t) dt = 0.
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Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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