L’ensemble E des fonctions intégrables sur [a,b] est donc un R-espace
vectoriel. Les propriétés (a) affirment que l’application
E −→ R
f →
b
a
f (t) dt
est une application linéaire.
Proposition. Soit f : [a,b] → R une fonction intégrable.
(i) Si f (x) 0 pour tout x, alors
b
a f (t) dt 0.
(ii) La fonction x →
f (x)
est intégrable et
b
a
f (t) dt
b
a
f (t)
dt
Démonstration. Si f (x) 0 pour tout x, alors d’après (d) et (b), on a
b
a f (t) dt
b
a 0 dt = 0 . Admettons que la fonction | f | est intégrable. On a
−
f (x)
f (x)
f (x)
pour tout x, donc par (a) et (d), on en déduit :
−
b
a
f (t)
dt =
b
a
−
f (t)
dt
b
a
f (t) dt
b
a
f (t)
dt ,
d’où l’inégalité (ii).
J
On généralise la notation intégrale en posant
a
a
f (t) dt = 0 et
a
b
f (t) dt = −
b
a
f (t) dt si a < b.
Pour tous x,y,z ∈ [a,b], on a alors la relation de Chasles :
z
x
f (t) dt =
y
x
f (t) dt +
z
y
f (t) dt
6.2 PRIMITIVES
Rappels. Soit I un intervalle et f : I → R une fonction.
Une primitive de f est une fonction F : I → R telle que F
(x) = f (x)
pour tout x ∈ I.
• Si F est une primitive de f, alors les autres primitives de f sont les
fonctions x → F(x) + c, où c ∈ R.
6.2 • Primitives
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