Posons
s n = (L/2
n )m 1 + (L/2
n )m 2 + · · · + (L/2
n )m 2 n
S n = (L/2
n )M 1 + (L/2
n )M 2 + · · · + (L/2
n )M 2 n
(2)
Dans des axes orthonormés, l’aire algébrique comprise entre la courbe et
l’axe des abscisses est intuitivement comprise entre s n et S n , pour tout n.
En prenant n de plus en plus grand et en choisissant convenablement les
m k et M k , on peut espérer encadrer cette aire de plus en plus précisément
par s n et S n .
Cela conduit à la notion de fonction intégrable.
Définition. La fonction f est intégrable si pour tout entier n 1, on
peut trouver des encadrements (1) tel que les suites (s n ) et
(S n )définies par (2) aient une même limite I. Dans ce cas, le nombre
I se note
b
a f (t) dt et s’appelle l’intégrale de f.
Si f est intégrable, alors dans des axes orthonormés, l’aire algébrique
comprise entre l’axe des abscisses et la courbe de f est donc I.
Nous admettons les résultats suivants.
Théorème.
® Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable.
® Toute fonction monotone sur [a,b] est intégrable.
Propriétés de l’intégrale
Soit f et g des fonctions intégrables sur [a,b].
a)
b
a f (t)+g(t) dt =
b
a f (t) dt +
b
a g(t) dt
b
a λ f (t) dt = λ
b
a f (t) dt pour tout λ ∈ R.
b) Pour tout nombre réel r, on a
b
a r dt = r(b − a).
c) Pour tout c ∈]a,b[ , on a
b
a f (t) dt =
c
a f (t) dt +
b
c f (t) dt.
d) Si f (x) g(x) pour tout x ∈ [a,b], alors
b
a
f (t) dt
b
a g(t) dt
On voit que si f et g sont des fonctions intégrables sur [a,b], alors la fonction f + g est intégrable, et pour tout λ ∈ R, la fonction λ f est intégrable.
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Chapitre 6 • Intégrale et primitive
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