c) Pour tout x > 1, posons x = 1/t, de sorte que
f (1/t) =
(1/t)
2 − 1
ln
|1/t + 1|
|1/t − 1|
=
1
t 2 (1 − t
2 )ln
1 + t
1 − t
car 1 + t > 0 et 1 − t > 0
=
1
t 2 (1 − t
2 )
ln(1 + t) − ln(1 − t)
On a le développement limité en 0 :
ln(1 + t) − ln(1 − t) =
t −
1
2
t
2 +
1
3
t
3
−
−t −
1
2
t
2 −
1
3
t
3
+o(t
3 )
= 2t +
2
3
t
3 + o(t
3 )
d’où
(1 − t
2 )
ln(1 + t) − ln(1 − t)
= 2t −
4
3
t
3 + o(t
3 )
f (1/t) =
1
t 2
2t −
4
3
t
3 + o(t
3 )
=
2
t
−
4
3
t + o(t)
En posant o(t) = tε(t), où lim
t→0
ε(t) = 0, on obtient
f (x) = 2x −
4
3x
+
1
x
ε(1/x) et lim
x→+∞
ε(1/x) = 0.
La droite d’équation y = 2x est donc asymptote à la courbe de f en +∞.
Puisque −
4
3x < 0 pour x > 0, la courbe est sous l’asymptote en tout
point d’abscisse x suffisamment grande.
La fonction f étant impaire, on en déduit que cette même droite d’équation y = 2x est asymptote à la courbe de f en −∞ et qu’en tout point
d’abscisse x < 0 suffisamment grande en valeur absolue, la courbe est
au dessus de l’asymptote.
d) (i) On a u(x) = ln(1 + x) − ln|1 − x| − 1/x. Sur R
∗
, la dérivée de
x → ln|x| est x → 1/x, donc il vient
u
(x) =
1
1 + x
−
−1
1 − x
+
1
x 2 =
2
1 − x 2 +
1
x 2 =
1 + x
2
x 2 (1 − x 2 )
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
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