La fonction u est donc strictement croissante sur ]0,1[ et strictement
décroissante sur ]1,+∞[. On a
lim
x→0
u(x) =−∞ , lim
x→1
u(x) = +∞ et
lim
x→+∞
u(x) = 0
Puisque u est continue, on déduit du théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un unique nombre α ∈ ]0,1[ tel que u(α) = 0. Voici le
tableau de variations de la fonction u où l’on voit aussi le signe de u(x) :
Solutions
99
0
α
1
+∞
+∞+∞
u(x)
0
0
−∞
0
α
1
+∞
+∞
f (x)
0
0
0
f (α)
d) (ii) Pour tout x 0 et x = / 1, on a f (x) = (x
2 − 1)
ln(1 + x)−
ln|1 − x|
, donc f
(x) = 2x ln
1 + x
|1 − x|
+ (x
2 − 1)
1
1 + x
−
−1
1 − x
= 2x ln
1 + x
|1 − x|
− 2.
Il s’ensuit f
(x) = 2xu(x)quelque soit x ∈ D. Pour tout x ∈ D, f
(x) a
le signe de u(x), d’où le tableau de variations de f sur [0,+∞[ :
d) (iii) Le calcul de f
(x) mené dans la question précédente montre que
f
(0) = −2. Comme la fonction f est impaire, la courbe de f a pour centre de symétrie l’origine des axes. Voici le dessin de la courbe :
–1
–1
1
x
1
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