§ 8. Solutions
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Cette dernière condition s'écrit aussi, compte tenu de la bilinéarité du produit scalaire et de la symétrie de A,
(1/2(A(Y - X) 1 Y - x) 2 O. Mais tout élément Z E IRn peut s'écrire sous la forme Z =Y - X, où
X et Y E IRn. Finalement, f est convexe si et seulement si pour tout Z E IRn, (AZIZ) 2 0, c'est-à-dire si et
seulement si la matrice symétrique A est positive.
Solution III. 7.
1) En écrivant les fonnules de Taylor-Young à! 'ordre 3 pour f et à l'ordre 2 pour f' on obtient, compte tenu des
hypothèses,
f(X) = ! !" (O)(X, X)+! !"'(O)(X, X, X)+ o(JJXll 3 ),
2
6
f'(X) = f"(O)X + ! !'"(O)(X, X)+ o(JJXIJ 2 ).
2
Cette dernière égalité devient
f'(X)X = f"(O)(X, X)+! f"'(O)(X, X, X)+ o(llXJJ 2 )X.
2
Par combinaison linéaire des égalités précédentes et en remarquant que o(llXll 2 )X est de la forme o(llXJl 3 ),
on obtient
2/(X) - J'(X)X = _! J'"(O).(X, X, X)+ o(JJXJJ 3 ).
6
2) Pour X = (x, y) E IR. 2 , on a f" (0) ( (x, y), (x, y))= 2xy. La fonction
{
0
si (x, y) = (0, 0),
e(x,y) = f(x,y) -xy . ( ) __,_(OO)
2
2
SI X 1 y r
1
,
X +y
est continue en tout point (x, y) =P (0, 0), comme quotient de deux fonctions continues.
La formule de Taylor appliquée à f à l'ordre 2 donne
f(X) = ! !" (O)(X, X)+ o(llXJJ 2 ),
2
soit f(x, y) = xy + (x 2 + y 2 )ê(x, y), où ê est une fonction définie sur IR. 2 ayant pour limite 0 en (0, 0). Donc
e(x, y) = ê(x, y), ce qui prouve la continuité de e en (0, 0).
3 a) L'application g est continue en tout point (x, t) tel que x =P 0, comme composée de fonctions continues.
0
. __, _ 0 (
)
f(x, xt)
t
S .
Tlll 0
• à 1
. . , d
n remarque que s1 x -r- , e x, xt = ( 2 ) 2 - - - 2 . oit to E "'· na, grace a contmutte e e,
l+t X
l+t
lim{x,t)->{O,to) e(x, xt) = lim(x,y)->(O,O) e(x, y) = 0, donc
1 .
f (x, xt)
to
1m
- -
{ x, t )-> {O, to) (1 + t 2 )x 2 1 + t5 '
et finalement
1 .
f(x, xt)
1m
- - - =to,
(x,t)->(O,to)
x2
ce qui prouve la continuité de g en (0, to).
3 b) La partie U = { (x, t) E IR. 2 ; x =P 0} est ouverte car c'est l'image réciproque de l'ouvert IR* de IR par
la première projection (x, t) 1--> x, qui est continue. De plus, g est de classe ci sur U, car elle est composée
d'applications de classe ci.
3 c) En appliquant à/~ la formule de Taylor à l'ordre 1 en (0, 0) on obtient, pour tout (x, t) EU,
f~(x, t) = f~(O, 0) + xff~(O, 0) + tf~~(O, 0) + o(ll(x, t)ii) = x + o(ll(x, t)ii) ·
Donc g~(x, t) = x-i f~(x, xt) = 1 + o(Jxl). On en déduit que pour tout b E IR,
lim
g~(x, t) = 1
(x,t)->(O,b), (x,t)EU
3 d) Pour (x, t) EU,
'(
) - 1 ( '(
)
'(
))
2f(x,xt) _ f'(x,xt)(x,xt)-2f(x,xt)
9i x, t - 2 fi x, xt +th x, xt -
3
-
3
,
X
X
X