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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
soit, en tenant compte de ( * ),
g~ (x, t) = ~ !'" (0) ( (x, xt), (x, xt), (x, xt)) + ~ o(IJ(x, t)11 3 ) .
6x
X
Mais limcx,t)->(O,b), (x,t)EU x- 3 o(ll(x, t)ll 3 ) = 0, donc
P(b) =
lim
g~ (x, t) = ~ J"'(O) ((1, b), (1, b), (1, b)) .
(x,t)->(O,b)
6
4 a) Pour (h, k) E JR 2 , on pose C0(h, k) = hP(b) + k et 1/J(h, k) = g(h, b + k) - g(O, b) - Cb(h, k). On a
donc 1/;(0, k) = g(O, b + k) - g(O, b) - k =O. Soit h =f. O. L'application Cb est linéaire, donc différentiable
en tout point. L'application g est différentiable en (h, k) EU. L'application 'If; est donc différentiable en (h, k)
et, pour (a, ,6) E JR 2 ,
1/; 1 (h, k)(a, ,6) = g'(h, b + k)(a, ,6) - Cb(a, ,6) = ag~ (h, b + k) + ,6g~(h, b + k) - Cb(a, ,6),
ce qui donne lim(h,k)->O, (h,k)f.O 'If;' (h, k)(a, ,6) = aP(b) + ,6 - Cb(Œ, ,6) = 0, d'où
lim
1/J'(h,k)=
lim
g'(h,b+k)-Cb=O.
(h,k) ->O,(h,k)f.O
(h,k) ->0,(h,k)f.O
4 b) On suppose h =f. O. Soit() la fonction, définie sur l'intervalle [O, l], O(À) = 1/J(Àh, Àk). L'application() est
dérivable sur JO, 1 [, de dérivée()' (À) = 'If;' (Àh, Àk) (h, k ). En appliquant à() le théorème des accroissements
finis entre 0 et 1, on obtient
d'où
111/J(h,k)-1/J(O,O)ll :S sup 111/J'(Àh,Àk)llll(h,k)ll,
.XE ]0,1[
lim
'lf;(h,k) =0.
(h,k)->O, (h,k)f.O IJ(h, k)ll
4 c) Le résultat précédent s'écrit encore
1 .
g(h, b + k) - g(O, b) - Cb(h, k)
IID
=Ü,
(h,k)->0, (h,k)f.O
IJ(h, k)ll
ce qui prouve que g est différentiable en (0, b) et a pour différentielle g 1 (0, b) = Cb. De plus, d'après 4 a, g 1 est
continue en (0, b ), donc g est de classe C 1 sur IR 2 .
5) L'application g étant de classe C 1 sur IR 2 et g~ (0, 0) étant =f. 0, donc inversible, on peut appliquer à g le
théorème des fonctions implicites au voisinage de (0, 0). Il exister > 0 et une application de classe C 1 • tels que les propriétés suivantes soient équivalentes :
(i) (t,x) E]-r,r[x]-r,r[ etg(t,x) = 0,
(ii) x E] - r,r[ et t = ip(x).
Soit, en posant y = tx,
(i) x E] - r,r[, IYI < rlxl et f(x,y) = 0,
(ii) x E J - r, r[ et y= xip(x).
Dans ce cas, la tangente au graphe de l'application x ,__, x
La même étude peut être faite en échangeant les rôles de x et de y.
La courbe de niveau 0 de f est constituée de deux arcs de courbe passant par l'origine et tangents en ce point,
respectivement, à chacun des axes de coordonnées.
Solution III.8.
L'application f est différentiable sur l'ouvert U = ]O, +oo[ x ]O, +oo[. Si elle admet en un
point (a, b) de U un maximun absolu, alors f'(a, b) = 0 (on désigne par 0 l'application nulle). Recherchons
donc les points ( x, y) E U où f ~ ( x, y) = f ~ ( x, y) = 0, soit encore après calcul de ces dérivées partielles, les
points (x, y) E U tels que y(y - x 2 ) = x(x - y 2 ) =O. Le seul point convenant est le point (a, b) = (1, 1)
et en ce point, f(l, 1) = 1/8. Montrons donc maintenant que pour tout (x, y) E U, f(x, y) :S 1/8.
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
soit, en tenant compte de ( * ),
g~ (x, t) = ~ !'" (0) ( (x, xt), (x, xt), (x, xt)) + ~ o(IJ(x, t)11 3 ) .
6x
X
Mais limcx,t)->(O,b), (x,t)EU x- 3 o(ll(x, t)ll 3 ) = 0, donc
P(b) =
lim
g~ (x, t) = ~ J"'(O) ((1, b), (1, b), (1, b)) .
(x,t)->(O,b)
6
4 a) Pour (h, k) E JR 2 , on pose C0(h, k) = hP(b) + k et 1/J(h, k) = g(h, b + k) - g(O, b) - Cb(h, k). On a
donc 1/;(0, k) = g(O, b + k) - g(O, b) - k =O. Soit h =f. O. L'application Cb est linéaire, donc différentiable
en tout point. L'application g est différentiable en (h, k) EU. L'application 'If; est donc différentiable en (h, k)
et, pour (a, ,6) E JR 2 ,
1/; 1 (h, k)(a, ,6) = g'(h, b + k)(a, ,6) - Cb(a, ,6) = ag~ (h, b + k) + ,6g~(h, b + k) - Cb(a, ,6),
ce qui donne lim(h,k)->O, (h,k)f.O 'If;' (h, k)(a, ,6) = aP(b) + ,6 - Cb(Œ, ,6) = 0, d'où
lim
1/J'(h,k)=
lim
g'(h,b+k)-Cb=O.
(h,k) ->O,(h,k)f.O
(h,k) ->0,(h,k)f.O
4 b) On suppose h =f. O. Soit() la fonction, définie sur l'intervalle [O, l], O(À) = 1/J(Àh, Àk). L'application() est
dérivable sur JO, 1 [, de dérivée()' (À) = 'If;' (Àh, Àk) (h, k ). En appliquant à() le théorème des accroissements
finis entre 0 et 1, on obtient
d'où
111/J(h,k)-1/J(O,O)ll :S sup 111/J'(Àh,Àk)llll(h,k)ll,
.XE ]0,1[
lim
'lf;(h,k) =0.
(h,k)->O, (h,k)f.O IJ(h, k)ll
4 c) Le résultat précédent s'écrit encore
1 .
g(h, b + k) - g(O, b) - Cb(h, k)
IID
=Ü,
(h,k)->0, (h,k)f.O
IJ(h, k)ll
ce qui prouve que g est différentiable en (0, b) et a pour différentielle g 1 (0, b) = Cb. De plus, d'après 4 a, g 1 est
continue en (0, b ), donc g est de classe C 1 sur IR 2 .
5) L'application g étant de classe C 1 sur IR 2 et g~ (0, 0) étant =f. 0, donc inversible, on peut appliquer à g le
théorème des fonctions implicites au voisinage de (0, 0). Il exister > 0 et une application de classe C 1 • tels que les propriétés suivantes soient équivalentes :
(i) (t,x) E]-r,r[x]-r,r[ etg(t,x) = 0,
(ii) x E] - r,r[ et t = ip(x).
Soit, en posant y = tx,
(i) x E] - r,r[, IYI < rlxl et f(x,y) = 0,
(ii) x E J - r, r[ et y= xip(x).
Dans ce cas, la tangente au graphe de l'application x ,__, x
La courbe de niveau 0 de f est constituée de deux arcs de courbe passant par l'origine et tangents en ce point,
respectivement, à chacun des axes de coordonnées.
Solution III.8.
L'application f est différentiable sur l'ouvert U = ]O, +oo[ x ]O, +oo[. Si elle admet en un
point (a, b) de U un maximun absolu, alors f'(a, b) = 0 (on désigne par 0 l'application nulle). Recherchons
donc les points ( x, y) E U où f ~ ( x, y) = f ~ ( x, y) = 0, soit encore après calcul de ces dérivées partielles, les
points (x, y) E U tels que y(y - x 2 ) = x(x - y 2 ) =O. Le seul point convenant est le point (a, b) = (1, 1)
et en ce point, f(l, 1) = 1/8. Montrons donc maintenant que pour tout (x, y) E U, f(x, y) :S 1/8.