§ 8. Solutions
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On peut remarquer que pour tout (x, y) E U, f(x, y) < (x + y)- 1 , donc si de plus x + y 2 8,alors
f(x +y) < 1/8.
L'application f peut être prolongée en une fonction continue g : [O, +oo[ x [O, +oo[---> IR en posant
g(x,y) = f(x,y) si xy # 0,
g(x, y) = 0 six= 0 ou y= 0.
Considérons alors K = { (x, y) E IR 2 ; x 2 0, y 2 0, x +y s:; 8 }. C'est une partie de IR 2 fermée
bornée, donc compacte. L'application g est continue sur K, il existe donc un point (a, /3) de K tel que pour tout
(x, y) E K, g(x, y) s:; g(a, /3). Mais (1, 1) E K, donc g(a, /3) 2 1/8, ce qui prouve que (a, /3) appartient à
0
l'intérieur K de K. Comme g est différentiable sur cet ouvert, les dérivées partielles de g ail point (a, /3) sont
0
nulles. Mais f et g coïncident sur K, donc (a, /3) = (1, 1).
0
Si maintenant (x, y) E U et (x, y) < 8, alors (x, y) EK donc g(x, y) s:; g(l, 1), soit encore f(x, y) s:; 1/8.
L'application f admet 1/8 pour maximum absolu et l'unique point (x, y) E U tel que f (x, y) = 1/8 est le
point (1, 1 ).
Solution III.9.
1) Le calcul donne f'(u) = (u - 1)(3u + 1). On a donc u 2 0 et f'(u) = 0 si et seulement si u = 1.
2) La matrice M 'P associée à la fonne quadratique deux distinctes. La fonne quadratique cp(x, y, z) = 0 si et seulement si (x, y, z) = (0, 0, 0).
3) Soit a E IR 3 . On sait que F' (a) = D f ( cp(a)) o Dcp(a) = f' ( c.p(a)) Dcp(a), en désignant par f' la dérivée
de f au sens usuel. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :
- a est un point critique de F = f o
- f' ( cp(a)) = 0 ou Dcp(a) = 0 (on désigne par 0 l'élément nul de .L'.(IR 3 , IR)),
- cp(a) = 1 ou a= (0,0,0).
En effet, d'une part cp(a) 2 0 donc, d'après la question 1, f'(cp(a)) = 0 si et seulement si cp(a) = 1;
d'autre part, Dcp(x, y, z) = 0 si et seulement si les trois dérivées partielles cp~. cp~ et
est 2M'P; comme cette forme quadratique est définie positive, l'unique solution de ce système linéaire est
(x, y, z) = (0, 0, O); donc Dcp(x, y, z) = 0 si et seulement si (x, y, z) = (0, 0, 0).
4) En tout point m = (x, y, z) E IR 3 , on a F' (m) = f' ( cp(m)) Dcp(m), ce qui donne, en faisant intervenir
les dérivées partielles (au sens usuel) des fonctions F et
i, j E {1,2,3}.
Pour m = a = (0, 0, 0), f' ( cp(a)) = f' (0) = -1 et, pour i E { 1, 2, 3},
C'est la matrice assaciée à une forme bilinéaire symétrique négative et non dégénérée. L'application F admet
donc en a un maximum relatif strict (voir corollaire 5.9 puis théorème 5.7).
5) Soit m E IR 3 . On a vu en 2 que cp(m) 2 O. Pour tout x 2 0, f (x) 2 0, donc en particulier f o cp(m) 2 0,
soit F(m) 2 O. Si a est un point critique non nul de F, d'après 3, cp(a) = 1, donc F(a) = f(l) = O; comme
pour tout m E IR 3 , F( m) 2 0, on conclut que F admet en a un minimun absolu.
Solution III.10.
l)SoitG: !1---> IRl'applicationG(x,y) = F(x,y,cp(x,y)).C'estlacomposéeG = Fo'l/Jdel'applications
'l/J : ( x, y) >--> ( x, y, cp( x, y)), définie sur n, et de l'application F. Ces deux applications étant de classe
0 2 , Gest de classe 0 2 . Sa différentielle DG(x,y) au point (x,y) E n se calcule à l'aide de la formule
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On peut remarquer que pour tout (x, y) E U, f(x, y) < (x + y)- 1 , donc si de plus x + y 2 8,alors
f(x +y) < 1/8.
L'application f peut être prolongée en une fonction continue g : [O, +oo[ x [O, +oo[---> IR en posant
g(x,y) = f(x,y) si xy # 0,
g(x, y) = 0 six= 0 ou y= 0.
Considérons alors K = { (x, y) E IR 2 ; x 2 0, y 2 0, x +y s:; 8 }. C'est une partie de IR 2 fermée
bornée, donc compacte. L'application g est continue sur K, il existe donc un point (a, /3) de K tel que pour tout
(x, y) E K, g(x, y) s:; g(a, /3). Mais (1, 1) E K, donc g(a, /3) 2 1/8, ce qui prouve que (a, /3) appartient à
0
l'intérieur K de K. Comme g est différentiable sur cet ouvert, les dérivées partielles de g ail point (a, /3) sont
0
nulles. Mais f et g coïncident sur K, donc (a, /3) = (1, 1).
0
Si maintenant (x, y) E U et (x, y) < 8, alors (x, y) EK donc g(x, y) s:; g(l, 1), soit encore f(x, y) s:; 1/8.
L'application f admet 1/8 pour maximum absolu et l'unique point (x, y) E U tel que f (x, y) = 1/8 est le
point (1, 1 ).
Solution III.9.
1) Le calcul donne f'(u) = (u - 1)(3u + 1). On a donc u 2 0 et f'(u) = 0 si et seulement si u = 1.
2) La matrice M 'P associée à la fonne quadratique deux distinctes. La fonne quadratique cp(x, y, z) = 0 si et seulement si (x, y, z) = (0, 0, 0).
3) Soit a E IR 3 . On sait que F' (a) = D f ( cp(a)) o Dcp(a) = f' ( c.p(a)) Dcp(a), en désignant par f' la dérivée
de f au sens usuel. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :
- a est un point critique de F = f o
- cp(a) = 1 ou a= (0,0,0).
En effet, d'une part cp(a) 2 0 donc, d'après la question 1, f'(cp(a)) = 0 si et seulement si cp(a) = 1;
d'autre part, Dcp(x, y, z) = 0 si et seulement si les trois dérivées partielles cp~. cp~ et
est 2M'P; comme cette forme quadratique est définie positive, l'unique solution de ce système linéaire est
(x, y, z) = (0, 0, O); donc Dcp(x, y, z) = 0 si et seulement si (x, y, z) = (0, 0, 0).
4) En tout point m = (x, y, z) E IR 3 , on a F' (m) = f' ( cp(m)) Dcp(m), ce qui donne, en faisant intervenir
les dérivées partielles (au sens usuel) des fonctions F et
i, j E {1,2,3}.
Pour m = a = (0, 0, 0), f' ( cp(a)) = f' (0) = -1 et, pour i E { 1, 2, 3},
C'est la matrice assaciée à une forme bilinéaire symétrique négative et non dégénérée. L'application F admet
donc en a un maximum relatif strict (voir corollaire 5.9 puis théorème 5.7).
5) Soit m E IR 3 . On a vu en 2 que cp(m) 2 O. Pour tout x 2 0, f (x) 2 0, donc en particulier f o cp(m) 2 0,
soit F(m) 2 O. Si a est un point critique non nul de F, d'après 3, cp(a) = 1, donc F(a) = f(l) = O; comme
pour tout m E IR 3 , F( m) 2 0, on conclut que F admet en a un minimun absolu.
Solution III.10.
l)SoitG: !1---> IRl'applicationG(x,y) = F(x,y,cp(x,y)).C'estlacomposéeG = Fo'l/Jdel'applications
'l/J : ( x, y) >--> ( x, y, cp( x, y)), définie sur n, et de l'application F. Ces deux applications étant de classe
0 2 , Gest de classe 0 2 . Sa différentielle DG(x,y) au point (x,y) E n se calcule à l'aide de la formule