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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
DG(x, y)= DF( 'l/;(x, y)) o D'l/;(x, y), ce qui donne, en utilisant les matrices jacobiennes des différentielles
des fonctions concernées :
(G~(x,y) G~(x,y)) = (F~o'l/;(x,y) F~o'l/;(x,y) F;o'l/;(x,y)) ( ~
~ )
(1) (2)
Les dérivées partielles secondes de G s'obtiennent en dérivant par rapport à x puis par rapport y les formules
précédentes, la dérivée d'un produit ou d'une somme s'obtenant par les formules usuelles de dérivation d'un
produit ou d'une somme de deux fonctions numériques, la dérivée d'une composée s'obtenant en réutilisant les
formules (1) ou (2); par exemple, la dérivée partielle par rapprort à x de la composée F; o '!/;s'obtenant en
remplaçant F par F; dans la formule (1). On obtient ainsi les formules:
G~x = F~'x o '!/; + 2(F/:z o 'l/;)
G~y = F~~ o '!/; + 2(F~'z o 'l/;)
G~y = F~'v o '!/; + (F/:z o ·l/J)
La fonction G est supposée nulle sur n; ses dérivées partielles premières et secondes sont donc nulles en tout
point de n. Les égalités cherchées s'obtiennent tout simplement en écrivant que les membres de droite des
égalités (1), (2), (3), ( 4) et (5) sont nuls.
2) Soit (a, b) E n un extremum relatif de
ce qui entraîne :
On obtient donc finalement :
F~'x(a, b, c) +
F~~(a, b, c) +
F~'y(a, b, c) +
F(a, b, c) = F~(a, b, c) = F~(a, b, c) = 0,
(3')
( 4')
(5')
3) Les solutions du système d'équations F(x,y,z) = F~(x,y,z) = F~(x,y,z) = 0 sont les points
M1 = (-2,0,l)etM2 = (16/7,0,-8/7).Posons(a1,b1) = (-2,0),(a2,b2) = (16/7,0),ci = 1,
c2 = -8 /7. On vérifie que pour i = 1 ou i = 2, F; (ai, bi, c;) i= O. On peut donc appliquer le théorème des
fonctions implicites à F au voisinage de chacun des points Mi : il existe un voisinage ouvert ni de (ai, bi) dans
IR 2 et une fonction IR, de classe C 2 , telle que pour tout (x, y) E ni, F ( x, y,
ce qui entraîne, puisque F~(ai, bi, ci)= F~(ai, bi, ci)= 0 et F;(ai, bi, ci) i= 0,
F~'y(x, y, z) = 0,
F~~(x, y, z) = 4.
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
DG(x, y)= DF( 'l/;(x, y)) o D'l/;(x, y), ce qui donne, en utilisant les matrices jacobiennes des différentielles
des fonctions concernées :
(G~(x,y) G~(x,y)) = (F~o'l/;(x,y) F~o'l/;(x,y) F;o'l/;(x,y)) ( ~
~ )
(1) (2)
Les dérivées partielles secondes de G s'obtiennent en dérivant par rapport à x puis par rapport y les formules
précédentes, la dérivée d'un produit ou d'une somme s'obtenant par les formules usuelles de dérivation d'un
produit ou d'une somme de deux fonctions numériques, la dérivée d'une composée s'obtenant en réutilisant les
formules (1) ou (2); par exemple, la dérivée partielle par rapprort à x de la composée F; o '!/;s'obtenant en
remplaçant F par F; dans la formule (1). On obtient ainsi les formules:
G~x = F~'x o '!/; + 2(F/:z o 'l/;)
G~y = F~~ o '!/; + 2(F~'z o 'l/;)
G~y = F~'v o '!/; + (F/:z o ·l/J)
La fonction G est supposée nulle sur n; ses dérivées partielles premières et secondes sont donc nulles en tout
point de n. Les égalités cherchées s'obtiennent tout simplement en écrivant que les membres de droite des
égalités (1), (2), (3), ( 4) et (5) sont nuls.
2) Soit (a, b) E n un extremum relatif de
ce qui entraîne :
On obtient donc finalement :
F~'x(a, b, c) +
(3')
( 4')
(5')
3) Les solutions du système d'équations F(x,y,z) = F~(x,y,z) = F~(x,y,z) = 0 sont les points
M1 = (-2,0,l)etM2 = (16/7,0,-8/7).Posons(a1,b1) = (-2,0),(a2,b2) = (16/7,0),ci = 1,
c2 = -8 /7. On vérifie que pour i = 1 ou i = 2, F; (ai, bi, c;) i= O. On peut donc appliquer le théorème des
fonctions implicites à F au voisinage de chacun des points Mi : il existe un voisinage ouvert ni de (ai, bi) dans
IR 2 et une fonction
ce qui entraîne, puisque F~(ai, bi, ci)= F~(ai, bi, ci)= 0 et F;(ai, bi, ci) i= 0,
F~'y(x, y, z) = 0,
F~~(x, y, z) = 4.