§ 8. Solutions
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Pour i = 1, F~(ai, bi, ci)= -15, d'où cp7 xx(ai, bi) = 4/15, cp7 xy(ai, bi) = 0, cp7 yy(ai, bi) = 4/15,
donc ( cp7 xy (ai, bi)) 2 < cp7 xx (ai, bi) cp7 YY (ai, bi ), ce qui prouve que cpi présente en (ai, bi) un minimum
local strict.
Pour i = 2, F~(a2, b2, c2) = 105/7, d'où cp~ xx(a2, b2) = -28/105, cp~ xy(a2, b2) = 0, cp~ yy(a2, b2) =
-28 /105, donc ( cp~ xy ( a2, b2)) 2 < cp~ xx ( a2, b2) cp~ YY ( a2, b2 ), ce qui prouve que cp2 présente en ( a2, b2)
un maximum local strict.
Solution Ill.Il.
1) La fonction g est continue sur IR 2 et admet, en tout point (x, y) de IR 2 - {(0,0)}, des dérivées partielles
ayant pour expressions
8g(x, y) = 2 x _ !!:.
x
a
ax
2 J x2 + y2 - 2 '
8g(x,y) = 2 y- !!:.
y
8y
2 y'x2 + y2 ·
On voit aisément que ces deux dérivées partielles sont continues sur JR 2 - { (0, 0)}; la fonction g est donc de
classe ci sur cet ouvert. On remarque aussi que g n'est pas différentiable au point (0, 0).
2) Appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Si la coordonnée x admet, en un point (a, (3) de
C, un extremum local, et si en ce point la différentielle de g existe et est non nulle, il existe À E IR tel que la
différentielle de l'application (x, y),__. x - Àg(x, y) soit nulle au point (a, (3). Nous obtenons ainsi
8g
l+À-(a,(3)=0,
ax
8g
À- (a,(3) =O.
8y
La première équation montre que À =I 0, et la seconde implique (3 ( 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 ) = 0, en supposant
(a, (3) =I (0, 0). Cette condition est satisfaite si nous avons, soit (3 = 0, soit 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 = O. De
plus, nous devons avoir aussi g( a, (3) = O.
Examinons d'abord la première possibilité, (3 =O. En exprimant que g(a, (3) = 0, nous voyons que a doit être
égal soit à 0, soit à a. Nous obtenons donc deux points susceptibles de convenir, l'origine (0, 0) et le point (a, 0).
Remarquons cependant qu'une des hypothèses nécessaires à l'application de la méthode des multiplicateurs de
Lagrange n'est pas satisfaite au point (0, 0) : en ce point, g n'est pas différentiable.
Examinons maintenant la seconde possibilité, 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 = O. En exprimant que g(a, (3) = 0, on
trouve a = -a/8 et (3 = ±av'3/8.
Nous avons au total quatre points où la coordonnée x peut éventuellement avoir un extremum relatif sur la courbe
C: l'origine (0, 0), et les points (a, 0), (-a/8, -av'3/8) et (-a/8, av'3/8).
Afin de voir si effectivement x admet sur la courbe C, en chacun de ces points, un extremum relatif, nous voyons
qu'en posant y' x2 + y2 = p, l'équation g(x, y) = O s'écrit
2 2
x=-p -p.
a
Le membre de droite de cette expression atteint son minimum pour p = a/4. Les points de C correspondants
sont (-a/8, -av'3/8) et (-a/8, av'3/8). En ces points, x atteint donc son minimum absolu sur C.
Puisque p 2 0 la relation ( *) montre aussi que pour p non nul assez petit, on a x < O. La coordonnée x admet
donc, à l'origine (0, 0), un maximum relatif strict sur C.
D'autre part, puisque lxl ~ p, l'expression ( *) montre qu'en tout point de la courbe C, on a x ~ a. La
coordonnée x atteint donc, sur C, son maximum absolu au point (a, 0).
3) En coordonnées polaires, l'équation de la courbe C est p = (a/2)(1+cos0). Cette courbe est une cardioïde
admettant l'axe des abscisses pour axe de symétrie et l'origine pour point de rebroussement. Les points de cette
courbe où la coordonnée x admet un extremum relatif sont, d'une part les points où la tangente à la courbe C est
parallèle à l'axe des ordonnées (ce sont ces points que l'on trouve par application de la méthode des multiplicateurs
de Lagrange), d'autre part le point de rebroussement (0, 0), où la la fonction g n'est pas différentiable.
Solution IIl.12.
1) Remarquons d'abord que la différentielle de la fonction x ,_. (xlx) ne s'annule pas sur la sphère S. D'après
le théorème des multiplicateurs de Lagrange 6.5, si en un point a E S, la fonction f admet sur la sphère S un
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Pour i = 1, F~(ai, bi, ci)= -15, d'où cp7 xx(ai, bi) = 4/15, cp7 xy(ai, bi) = 0, cp7 yy(ai, bi) = 4/15,
donc ( cp7 xy (ai, bi)) 2 < cp7 xx (ai, bi) cp7 YY (ai, bi ), ce qui prouve que cpi présente en (ai, bi) un minimum
local strict.
Pour i = 2, F~(a2, b2, c2) = 105/7, d'où cp~ xx(a2, b2) = -28/105, cp~ xy(a2, b2) = 0, cp~ yy(a2, b2) =
-28 /105, donc ( cp~ xy ( a2, b2)) 2 < cp~ xx ( a2, b2) cp~ YY ( a2, b2 ), ce qui prouve que cp2 présente en ( a2, b2)
un maximum local strict.
Solution Ill.Il.
1) La fonction g est continue sur IR 2 et admet, en tout point (x, y) de IR 2 - {(0,0)}, des dérivées partielles
ayant pour expressions
8g(x, y) = 2 x _ !!:.
x
a
ax
2 J x2 + y2 - 2 '
8g(x,y) = 2 y- !!:.
y
8y
2 y'x2 + y2 ·
On voit aisément que ces deux dérivées partielles sont continues sur JR 2 - { (0, 0)}; la fonction g est donc de
classe ci sur cet ouvert. On remarque aussi que g n'est pas différentiable au point (0, 0).
2) Appliquons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Si la coordonnée x admet, en un point (a, (3) de
C, un extremum local, et si en ce point la différentielle de g existe et est non nulle, il existe À E IR tel que la
différentielle de l'application (x, y),__. x - Àg(x, y) soit nulle au point (a, (3). Nous obtenons ainsi
8g
l+À-(a,(3)=0,
ax
8g
À- (a,(3) =O.
8y
La première équation montre que À =I 0, et la seconde implique (3 ( 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 ) = 0, en supposant
(a, (3) =I (0, 0). Cette condition est satisfaite si nous avons, soit (3 = 0, soit 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 = O. De
plus, nous devons avoir aussi g( a, (3) = O.
Examinons d'abord la première possibilité, (3 =O. En exprimant que g(a, (3) = 0, nous voyons que a doit être
égal soit à 0, soit à a. Nous obtenons donc deux points susceptibles de convenir, l'origine (0, 0) et le point (a, 0).
Remarquons cependant qu'une des hypothèses nécessaires à l'application de la méthode des multiplicateurs de
Lagrange n'est pas satisfaite au point (0, 0) : en ce point, g n'est pas différentiable.
Examinons maintenant la seconde possibilité, 4 - a(a 2 + (3 2 )-i/ 2 = O. En exprimant que g(a, (3) = 0, on
trouve a = -a/8 et (3 = ±av'3/8.
Nous avons au total quatre points où la coordonnée x peut éventuellement avoir un extremum relatif sur la courbe
C: l'origine (0, 0), et les points (a, 0), (-a/8, -av'3/8) et (-a/8, av'3/8).
Afin de voir si effectivement x admet sur la courbe C, en chacun de ces points, un extremum relatif, nous voyons
qu'en posant y' x2 + y2 = p, l'équation g(x, y) = O s'écrit
2 2
x=-p -p.
a
Le membre de droite de cette expression atteint son minimum pour p = a/4. Les points de C correspondants
sont (-a/8, -av'3/8) et (-a/8, av'3/8). En ces points, x atteint donc son minimum absolu sur C.
Puisque p 2 0 la relation ( *) montre aussi que pour p non nul assez petit, on a x < O. La coordonnée x admet
donc, à l'origine (0, 0), un maximum relatif strict sur C.
D'autre part, puisque lxl ~ p, l'expression ( *) montre qu'en tout point de la courbe C, on a x ~ a. La
coordonnée x atteint donc, sur C, son maximum absolu au point (a, 0).
3) En coordonnées polaires, l'équation de la courbe C est p = (a/2)(1+cos0). Cette courbe est une cardioïde
admettant l'axe des abscisses pour axe de symétrie et l'origine pour point de rebroussement. Les points de cette
courbe où la coordonnée x admet un extremum relatif sont, d'une part les points où la tangente à la courbe C est
parallèle à l'axe des ordonnées (ce sont ces points que l'on trouve par application de la méthode des multiplicateurs
de Lagrange), d'autre part le point de rebroussement (0, 0), où la la fonction g n'est pas différentiable.
Solution IIl.12.
1) Remarquons d'abord que la différentielle de la fonction x ,_. (xlx) ne s'annule pas sur la sphère S. D'après
le théorème des multiplicateurs de Lagrange 6.5, si en un point a E S, la fonction f admet sur la sphère S un