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Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
extremum relatif, il existe À E IR tel que la différentielle de la fonction x ,_. f (x) - À(xlx) s'annule au point
a. Or compte tenu de la symétrie de A, cette différentielle est lapplication linéaire y ,_. D f ( a)(y) - 2À( aly ),
ou encore y,_. 2(Aa - Àaly). Par suite, Aa = Àa, ce qui exprime que a est vecteur propre de A associé à la
valeur propre À.
Réciproquement, si a est vecteur propre de A associé à la valeur propre réelle À, le même calcul que ci-dessus
montre que la différentielle, au point a, de la fonction x ,_. f (x) - À(xlx) est nulle.
2) Étant définie positive, l'application linéaire A est un isomorphisme. Par suite, la différentielle de l'application
x ,_. f(x) = (Axlx) ne s'annule pas sur Q. D'après le théorème des multiplicateurs de Lagrange 6.5, si en un
point a E Q, laforme linéairex ,_. (zlx) admetsurQ un extremum relatif, il existe À E IR tel que la différentielle
de la fonction x ,_. (zlx) - Àf(x) s'annule au point a. Or compte tenu de la symétrie de A, cette différentielle
est l'application linéaire y,_. (zly) - ÀDf(a)(y), ou encore y,_. (z - 2ÀAaly). Nous devons donc avoir
2ÀAa = z. Comme nous avons supposé z =f- 0, le multiplicateur À doit être non nul, et a = A- 1 ( z/(2À)).
En écrivant que a E Q, nous obtenons (zlA- 1 z) = 4À 2 , d'où nous tirons À= ±(1/2)y'(z!A- 1 z). Nous
obtenons donc deux points de Q où la forme linéaire x ,_. (zlx) peut éventuellement avoir un extremum relatif:
les points ±(zlA- 1 z)- 1 /2 A-Iz.
La partie Q de IRn est fermée et bornée, donc compacte. Par suite, la forme linéaire x ,_. (zlx) atteint sur Q
son maximum et son minimum. Cela prouve que les deux points de Q trouvés ci-dessus sont effectivement les
points où cette forme linéaire atteint son maximum et son minimum sur Q.
L'interprétation géométrique de ces résultats est très simple : la partie Q de IRn est une quadrique compacte
(ellipsoïde de dimension n - 1) admettant l'origine pour centre de symétrie. Les points de cette quadrique où la
forme linéaire x ,_. (zlx) admet un extremum sont les points où l'hyperplan affine tangent à la quadrique Q est
parallèle au noyau de cette forme linéaire.
Solution III.13.
Il s'agit ici de déterminer les points de A où la fonction f : IR 3 --> IR, f ( x, y, z) =
x 2 + y 2 + z 2 , admet un minimum absolu. La partie A de IR 3 est l'image réciproque de (0, 0) par l'application
g = (g1,g2): IR 3 --> IR 2 , g1(x,y,z) = z 2 + xy, g2(x,y,z) = x 2 + y 2 - 1. Le théorème 6.5 et son
application 6.6 au cas d'espaces de dimension finie permettent d'affirmer qu'en tout point m = (a, b, c) E A
où la restriction de f à la partie A admet un minimun absolu et où la différentielle de g est surjective, il existe
deux réels À etµ tels que la différentielle, en ce point, de l'application f - Àg1 - µg2, soit nulle; autrement
dit, en ce point, les trois dérivées partielles de cette application doivent être simultanément nulles. On est donc
amené à résoudre le système de cinq équations à cinq inconnues x, y, z, À,µ suivant,
2x - Ày - 2µx = 0, 2y - Àx - 2µy = 0, z - Àz = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 - 1 = 0,
dans lequel x et y jouent des rôles symétriques. La troisième équation donnez = 0 ou À = 1. D'autre part, on
vérifie que (x, y) # (0, 0) en tout point (x, y, z) de A; le système formé des deux premières équations n'admet
donc de solution dans A que si son déterminant est nul. On obtient la condition 4(1 - µ 2 ) - ). 2 = 0, ce qui
donne À= ±2(1 - µ).
Examinons le cas z = O. On a dans ce cas, d'après la quatrième équation, xy = O. Examinons le cas x = O;
on obtient alors y 2 = 1, À = 0, µ = 1. On obtient ainsi les points m1 = (0, 1, 0) et m2 = (0, -1, 0). En
échangeant les rôles de x et de y, on obtient aussi les points ma = (1, 0, 0) et m4 = (-1, 0, 0).
Dans le cas ou À = 1, on trouveµ = 1/2 ouµ = 3/2. Lorsqueµ = 1/2, pour déterminer x et y il reste donc
à résoudre le système x - y = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 = 1, qui n'admet pas de solution. Lorsqueµ= 3/2,
x et y sont solution du système x + y = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 = 1, qui admet pour solutions les points
ni= (1/2, -1/2, 1/2), n2 = (1/2, -1/2,-1/2), na= (-1/2, 1/2, 1/2), n4=(-1/2,1/2, 1/2).
La matrice jacobienne de la différentielle de g au point ( x, y, z) est ( Y
x 2
0 z) ; elle est de rang 2 en
2x 2y
chacun des points mi et ni trouvés; la différentielle de g en ces points est bien surjective.
Nous avons donc trouvé huit points ou la restriction de f à A peut être minimum. Nous contatons que
f (mi) = 1, i E { 1, 2, 3, 4} et f(nj) = 3/4, j E { 1, 2, 3, 4}. Les points nj sont situés à l'intérieur de
la boule fermée Bp(O, 1) de IR 3 de centre l'origine et de rayon 1. L'application g étant continue, A est une
partie fermée de IR 3 et An Bp(O, 1) est un compact de cet espace. La restriction de l'application continue f à
An Bp(O, 1) atteint son minimum. De plus si (x, y, z) 1. Ainsi, on peut affirmer
que les points de A les plus proches de (0, 0, 0) sont les points nj, j E { 1, 2, 3, 4}.
Chapitre III. Différentielles d'ordre supérieur
extremum relatif, il existe À E IR tel que la différentielle de la fonction x ,_. f (x) - À(xlx) s'annule au point
a. Or compte tenu de la symétrie de A, cette différentielle est lapplication linéaire y ,_. D f ( a)(y) - 2À( aly ),
ou encore y,_. 2(Aa - Àaly). Par suite, Aa = Àa, ce qui exprime que a est vecteur propre de A associé à la
valeur propre À.
Réciproquement, si a est vecteur propre de A associé à la valeur propre réelle À, le même calcul que ci-dessus
montre que la différentielle, au point a, de la fonction x ,_. f (x) - À(xlx) est nulle.
2) Étant définie positive, l'application linéaire A est un isomorphisme. Par suite, la différentielle de l'application
x ,_. f(x) = (Axlx) ne s'annule pas sur Q. D'après le théorème des multiplicateurs de Lagrange 6.5, si en un
point a E Q, laforme linéairex ,_. (zlx) admetsurQ un extremum relatif, il existe À E IR tel que la différentielle
de la fonction x ,_. (zlx) - Àf(x) s'annule au point a. Or compte tenu de la symétrie de A, cette différentielle
est l'application linéaire y,_. (zly) - ÀDf(a)(y), ou encore y,_. (z - 2ÀAaly). Nous devons donc avoir
2ÀAa = z. Comme nous avons supposé z =f- 0, le multiplicateur À doit être non nul, et a = A- 1 ( z/(2À)).
En écrivant que a E Q, nous obtenons (zlA- 1 z) = 4À 2 , d'où nous tirons À= ±(1/2)y'(z!A- 1 z). Nous
obtenons donc deux points de Q où la forme linéaire x ,_. (zlx) peut éventuellement avoir un extremum relatif:
les points ±(zlA- 1 z)- 1 /2 A-Iz.
La partie Q de IRn est fermée et bornée, donc compacte. Par suite, la forme linéaire x ,_. (zlx) atteint sur Q
son maximum et son minimum. Cela prouve que les deux points de Q trouvés ci-dessus sont effectivement les
points où cette forme linéaire atteint son maximum et son minimum sur Q.
L'interprétation géométrique de ces résultats est très simple : la partie Q de IRn est une quadrique compacte
(ellipsoïde de dimension n - 1) admettant l'origine pour centre de symétrie. Les points de cette quadrique où la
forme linéaire x ,_. (zlx) admet un extremum sont les points où l'hyperplan affine tangent à la quadrique Q est
parallèle au noyau de cette forme linéaire.
Solution III.13.
Il s'agit ici de déterminer les points de A où la fonction f : IR 3 --> IR, f ( x, y, z) =
x 2 + y 2 + z 2 , admet un minimum absolu. La partie A de IR 3 est l'image réciproque de (0, 0) par l'application
g = (g1,g2): IR 3 --> IR 2 , g1(x,y,z) = z 2 + xy, g2(x,y,z) = x 2 + y 2 - 1. Le théorème 6.5 et son
application 6.6 au cas d'espaces de dimension finie permettent d'affirmer qu'en tout point m = (a, b, c) E A
où la restriction de f à la partie A admet un minimun absolu et où la différentielle de g est surjective, il existe
deux réels À etµ tels que la différentielle, en ce point, de l'application f - Àg1 - µg2, soit nulle; autrement
dit, en ce point, les trois dérivées partielles de cette application doivent être simultanément nulles. On est donc
amené à résoudre le système de cinq équations à cinq inconnues x, y, z, À,µ suivant,
2x - Ày - 2µx = 0, 2y - Àx - 2µy = 0, z - Àz = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 - 1 = 0,
dans lequel x et y jouent des rôles symétriques. La troisième équation donnez = 0 ou À = 1. D'autre part, on
vérifie que (x, y) # (0, 0) en tout point (x, y, z) de A; le système formé des deux premières équations n'admet
donc de solution dans A que si son déterminant est nul. On obtient la condition 4(1 - µ 2 ) - ). 2 = 0, ce qui
donne À= ±2(1 - µ).
Examinons le cas z = O. On a dans ce cas, d'après la quatrième équation, xy = O. Examinons le cas x = O;
on obtient alors y 2 = 1, À = 0, µ = 1. On obtient ainsi les points m1 = (0, 1, 0) et m2 = (0, -1, 0). En
échangeant les rôles de x et de y, on obtient aussi les points ma = (1, 0, 0) et m4 = (-1, 0, 0).
Dans le cas ou À = 1, on trouveµ = 1/2 ouµ = 3/2. Lorsqueµ = 1/2, pour déterminer x et y il reste donc
à résoudre le système x - y = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 = 1, qui n'admet pas de solution. Lorsqueµ= 3/2,
x et y sont solution du système x + y = 0, z 2 + xy = 0, x 2 + y 2 = 1, qui admet pour solutions les points
ni= (1/2, -1/2, 1/2), n2 = (1/2, -1/2,-1/2), na= (-1/2, 1/2, 1/2), n4=(-1/2,1/2, 1/2).
La matrice jacobienne de la différentielle de g au point ( x, y, z) est ( Y
x 2
0 z) ; elle est de rang 2 en
2x 2y
chacun des points mi et ni trouvés; la différentielle de g en ces points est bien surjective.
Nous avons donc trouvé huit points ou la restriction de f à A peut être minimum. Nous contatons que
f (mi) = 1, i E { 1, 2, 3, 4} et f(nj) = 3/4, j E { 1, 2, 3, 4}. Les points nj sont situés à l'intérieur de
la boule fermée Bp(O, 1) de IR 3 de centre l'origine et de rayon 1. L'application g étant continue, A est une
partie fermée de IR 3 et An Bp(O, 1) est un compact de cet espace. La restriction de l'application continue f à
An Bp(O, 1) atteint son minimum. De plus si (x, y, z)
que les points de A les plus proches de (0, 0, 0) sont les points nj, j E { 1, 2, 3, 4}.