Chapitre IV
Équations différentielles; généralités
Les équations différentielles constituent un des principaux développements du calcul différentiel. D'une grande imp01tance en mathématiques pures, elles sont aussi
extrêmement utilisées dans les applications aux autres sciences, par exemple en Mécanique
et en Physique, pour décrire!' évolution d'un système au cours du temps. En raison de leur
importance, plusieurs chapitres du présent livre leur sont dédiés.
Dans le présent chapitre, après quelques généralités, nous allons décrire diverses transformations applicables aux équations différentielles. Nous verrons notamment comment
ramener une équation différentielle au premier ordre, comment la mettre sous forme d'une
équation autonome, ou encore comment la transformer par difféomorphisme ou changement de temps.
1. Équations différentielles sous forme canonique
1.1. Notations et conventions. - Dans tout ce paragraphe E est un espace vectoriel réel
normé. Comme d'habitude, nous identifierons les espaces .C(IR, E), .C(IR, .C(IR, E)), etc ... ,
à E. Une application cp d'un intervalle ouvert Ide IR dans E étant donnée, nous noterons
cp', cp", .. ., cp(n) ses dérivées première, seconde, .. ., d'ordre n, lorsqu'elles existent. Nous
.
.
Il
d' . , dcp d2cp
dncp 1
.
noterons aussi occas10nne ement ces envees dt, dt 2 , .. ., dtn orsque ces notations
seront plus commodes. En supposant que cp soit n fois différentiable sur!, rappelons que cp',
cp", .. ., cp(n) sont des applications de!, respectivement, dans .C(IR, E) .C (IR, .C(IR, E)), .. .,
.C (IR, .C (IR, .C( ... E) ... ) ) . Mais compte tenu des identifications mentionnées ci-dessus,
nous pouvons considérer toutes les dérivées cp', cp", .. ., cp(n) de l'application cp comme
étant à valeurs dans E.
1.2. Définitions
(i) Une équation différentielle du premier ordre, sous forme canonique, dans l'espace
E, est une relation de la forme
cp'(t) = f(t,cp(t))
(1)
où f est une application d'une partie 0 de IR x E dans E. Une solution de cette
équation différentielle est une application différentiable cp d'un intervalle ouvert
I de IR dans E, telle que pour tout t E !, (t, cp(t)) soit élément de 0, et que
(t,cp(t),cp'(t)) vérifie la relation (1).
(ii) Une équation différentielle d'ordre n (n entier 2: 1), sous forme canonique, dans
l'espace E, est une relation de la forme
cp(n)(t) = J(t, cp(t), cp'(t), ... , cp(n-l)(t))
(2)
Équations différentielles; généralités
Les équations différentielles constituent un des principaux développements du calcul différentiel. D'une grande imp01tance en mathématiques pures, elles sont aussi
extrêmement utilisées dans les applications aux autres sciences, par exemple en Mécanique
et en Physique, pour décrire!' évolution d'un système au cours du temps. En raison de leur
importance, plusieurs chapitres du présent livre leur sont dédiés.
Dans le présent chapitre, après quelques généralités, nous allons décrire diverses transformations applicables aux équations différentielles. Nous verrons notamment comment
ramener une équation différentielle au premier ordre, comment la mettre sous forme d'une
équation autonome, ou encore comment la transformer par difféomorphisme ou changement de temps.
1. Équations différentielles sous forme canonique
1.1. Notations et conventions. - Dans tout ce paragraphe E est un espace vectoriel réel
normé. Comme d'habitude, nous identifierons les espaces .C(IR, E), .C(IR, .C(IR, E)), etc ... ,
à E. Une application cp d'un intervalle ouvert Ide IR dans E étant donnée, nous noterons
cp', cp", .. ., cp(n) ses dérivées première, seconde, .. ., d'ordre n, lorsqu'elles existent. Nous
.
.
Il
d' . , dcp d2cp
dncp 1
.
noterons aussi occas10nne ement ces envees dt, dt 2 , .. ., dtn orsque ces notations
seront plus commodes. En supposant que cp soit n fois différentiable sur!, rappelons que cp',
cp", .. ., cp(n) sont des applications de!, respectivement, dans .C(IR, E) .C (IR, .C(IR, E)), .. .,
.C (IR, .C (IR, .C( ... E) ... ) ) . Mais compte tenu des identifications mentionnées ci-dessus,
nous pouvons considérer toutes les dérivées cp', cp", .. ., cp(n) de l'application cp comme
étant à valeurs dans E.
1.2. Définitions
(i) Une équation différentielle du premier ordre, sous forme canonique, dans l'espace
E, est une relation de la forme
cp'(t) = f(t,cp(t))
(1)
où f est une application d'une partie 0 de IR x E dans E. Une solution de cette
équation différentielle est une application différentiable cp d'un intervalle ouvert
I de IR dans E, telle que pour tout t E !, (t, cp(t)) soit élément de 0, et que
(t,cp(t),cp'(t)) vérifie la relation (1).
(ii) Une équation différentielle d'ordre n (n entier 2: 1), sous forme canonique, dans
l'espace E, est une relation de la forme
cp(n)(t) = J(t, cp(t), cp'(t), ... , cp(n-l)(t))
(2)