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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
où f est une application d'une partie n de JR.xEx · · · xE (n facteurs E) dans E. Une
solution de cette équation est une application n fois différentiable

ouvert Ide lR. dans E, telle que pour tout t E J, (t, élément den, et que (t, 1.3. Équations différentielles scalaires et systèmes. -
Si E = JR., l'équation
différentielle (1) (resp., (2)), est dite équation différentielle scalaire du premier ordre
(resp., d'ordre n). Si E est de dimension finie p > 1, il s'identifie (moyennant le choix
d'une base) à JR.P. L'équation différentielle (1) s'écrit, en explicitant ses composantes,
(3)
où celles de l'application f de n dans JR.P. Le système d'équations (3) est appelé système
différentiel du premier ordre, de rang p.
Dans les mêmes hypothèses, en explicitant les composantes de l'équation différentielle (2)
d'ordre n, nous obtenons un système différentiel d'ordre n, de rang p.
1.4. Retour au premier ordre. - Une équation différentielle d'ordre n dans l'espace E
peut toujours être ramenée à une équation du premier ordre dans l'espace En. Soit en effet

I dans En = E x E x · · · x E ( n facteurs E),
t ~ ( En d'autres termes, posons
1/Jo = 1/Jn-1 = D'autre part, désignons par F = (Fo, F1, ... , Fn_ 1) l'application den (partie de lR. x En)
dans En
(t,xo, ... ,Xn-1) ~ (x1, ... ,Xn-1,f(t,xo, ... ,xn-1)).
En d'autres termes,
Fo(t, xo, ... , Xn-1) = x1,
Fn-2(t, Xo, · · ·, Xn-1) = Xn-1,
Fn-1 (t, Xo, ... , Xn-1) = f(t, Xo, ... , Xn-1).
Nous voyons alors que 'ljJ vérifie l'équation différentielle du premier ordre
1/J' ( t) = F ( t, 'ljJ ( t)) ,
qui s'écrit, en explicitant ses composantes,
1/Jb(t) = 1/J1 (t)'
1/J~ (t) = 1/Jz(t),
1/J~_z(t) = 1/Jn-1(t),
1/J~-l (t) = f (t, 1/Jo(t), ... , 1/Jn-1(t)).
(4)
Réciproquement, si 'ljJ est une solution de ( 4), sa première composante 1/Jo est solution de
(2), et ses autres composantes sont les dérivées de 1/Jo d'ordre 1, 2, ... , n - 1.