§ 2. Équations différentielles autonomes
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2. Équations différentielles autonomes
2.1. Définition. - Une équation différentielle autonome du premier ordre, sous forme
canonique, dans l'espace E, est une relation de la forme
c.p'(t) = X(c.p(t)),
(5)
où X est un champ de vecteurs sur une partie U de E, c'est-à-dire une application
de U dans E. Une solution de cette équation différentielle est une application
différentiable c.p d'un intervalle ouvert I de lR dans E, telle que pour tout t E I,
c.p(t) soit élément de U, et que (c.p(t), c.p'(t)) vérifie la relation (5).
En d'autres termes, une équation différentielle du premier ordre, sous forme canonique,
de la forme (1), est autonome si la partie n de lR x E sur laquelle l'application f est
définie est de la forme lR x U, où U est une partie de E, et si la fonction f est de la forme
f(t, x) = X(x), où X est une application de U dans E. Autrement dit, f est constante
sur chaque partie lR x { x} de lR x U, (x E U). On dit alors que f ne dépend pas de sa
première variable t E R
La proposition suivante indique une importante propriété de l'ensemble des solutions d'une
équation autonome.
2.2. Proposition. -
Soit c.p : I ---+ E une solution de l'équation différentielle
autonome (5), et soit to E JR. Désignons par Tt 0 : lR---+ lR la translation t ~ t - t 0 .
Alors l'application c.p o Tt 0 du translaté I + t0 de l'intervalle I dans E est aussi
solution de l'équation autonome (5).
Preuve : L'application Tt 0 : I + to ---+ I, qui a pour expression s ~ s - t0 , est
différentiable en tout point de I +t0 , et a pour différentielle l'application identique de JR; en
d'autres termes, sa dérivée est constante, et égale à 1. Posons ' 1jJ = c.p o Tt 0 • L'application
' 1jJ est différentiable sur I + t0 , comme composée d'applications différentiables, et sa
différentielle, en chaque points E I + t0 , est (proposition 1.1.8)
D'lj;(s) = Dc.p(Tt 0 (s)) o DTt 0 (s) = Dc.p(s - to) o idJR = Dc.p(s - to).
En d'autres termes, et avec d'autres notations, ' 1jJ est dérivable en tout points de I + t0 , et
' 1/; 1 ( s) = c.p' ( s - to) .
Mais comme c.p est solution de (5), nous avons
'l/J'(s) = c.p'(s - to) = X(c.p(s - to)) = X('l/J(s)),
ce qui prouve que ' 1jJ est aussi solution de (5).
D
2.3. Commentaires
a) Translation temporelle et ongme du temps. - Dans les applications, notamment à la Mécanique céleste, les équations différentielles sont utilisées pour décrire
mathématiquement l'évolution d'un système (constitué, par exemple, par un certain nombre d'étoiles et de planètes). Le paramètre réel t, parcourant un intervalle ouvert I, est
interprété comme Je temps, une orientation du temps (distinction entre passé et futur), une
origine et une unité de temps étant supposées choisies. L'état du système à un instant t
est représenté mathématiquement par un élément c.p(t) d'un espace vectoriel normé E;
l'application c.p : I ---+ E représente donc l'évolution du système, pendant l'intervalle
de temps I. Lorsque l'évolution du système est régie par une équation différentielle non
autonome, de Ja_forme (1), l'évolution infinitésimale du système à l'instant t, c'est-àdire la dérivée c.p'(t), est égale à f(t, c.p(t)) : elle dépend, à la fois, de l'état instantané
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2. Équations différentielles autonomes
2.1. Définition. - Une équation différentielle autonome du premier ordre, sous forme
canonique, dans l'espace E, est une relation de la forme
c.p'(t) = X(c.p(t)),
(5)
où X est un champ de vecteurs sur une partie U de E, c'est-à-dire une application
de U dans E. Une solution de cette équation différentielle est une application
différentiable c.p d'un intervalle ouvert I de lR dans E, telle que pour tout t E I,
c.p(t) soit élément de U, et que (c.p(t), c.p'(t)) vérifie la relation (5).
En d'autres termes, une équation différentielle du premier ordre, sous forme canonique,
de la forme (1), est autonome si la partie n de lR x E sur laquelle l'application f est
définie est de la forme lR x U, où U est une partie de E, et si la fonction f est de la forme
f(t, x) = X(x), où X est une application de U dans E. Autrement dit, f est constante
sur chaque partie lR x { x} de lR x U, (x E U). On dit alors que f ne dépend pas de sa
première variable t E R
La proposition suivante indique une importante propriété de l'ensemble des solutions d'une
équation autonome.
2.2. Proposition. -
Soit c.p : I ---+ E une solution de l'équation différentielle
autonome (5), et soit to E JR. Désignons par Tt 0 : lR---+ lR la translation t ~ t - t 0 .
Alors l'application c.p o Tt 0 du translaté I + t0 de l'intervalle I dans E est aussi
solution de l'équation autonome (5).
Preuve : L'application Tt 0 : I + to ---+ I, qui a pour expression s ~ s - t0 , est
différentiable en tout point de I +t0 , et a pour différentielle l'application identique de JR; en
d'autres termes, sa dérivée est constante, et égale à 1. Posons ' 1jJ = c.p o Tt 0 • L'application
' 1jJ est différentiable sur I + t0 , comme composée d'applications différentiables, et sa
différentielle, en chaque points E I + t0 , est (proposition 1.1.8)
D'lj;(s) = Dc.p(Tt 0 (s)) o DTt 0 (s) = Dc.p(s - to) o idJR = Dc.p(s - to).
En d'autres termes, et avec d'autres notations, ' 1jJ est dérivable en tout points de I + t0 , et
' 1/; 1 ( s) = c.p' ( s - to) .
Mais comme c.p est solution de (5), nous avons
'l/J'(s) = c.p'(s - to) = X(c.p(s - to)) = X('l/J(s)),
ce qui prouve que ' 1jJ est aussi solution de (5).
D
2.3. Commentaires
a) Translation temporelle et ongme du temps. - Dans les applications, notamment à la Mécanique céleste, les équations différentielles sont utilisées pour décrire
mathématiquement l'évolution d'un système (constitué, par exemple, par un certain nombre d'étoiles et de planètes). Le paramètre réel t, parcourant un intervalle ouvert I, est
interprété comme Je temps, une orientation du temps (distinction entre passé et futur), une
origine et une unité de temps étant supposées choisies. L'état du système à un instant t
est représenté mathématiquement par un élément c.p(t) d'un espace vectoriel normé E;
l'application c.p : I ---+ E représente donc l'évolution du système, pendant l'intervalle
de temps I. Lorsque l'évolution du système est régie par une équation différentielle non
autonome, de Ja_forme (1), l'évolution infinitésimale du système à l'instant t, c'est-àdire la dérivée c.p'(t), est égale à f(t, c.p(t)) : elle dépend, à la fois, de l'état instantané