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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
du système
système, et ne fait intervenir aucun élément extérieur au système. La proposition 2.2 traduit
une propriété remarquable, mais assez évidente intuitivement, des sytèmes régis par des
équations différentielles autonomes, qui peut d'ailleurs être interprétée de deux façons
différentes, indiquées ci-dessous. Bien entendu, ces interprétations sortent quelque peu du
domaine strict des mathématiques, puisqu'elles concernent l'utilisation des mathématiques
pour la description de phénomènes physiques.
La première interprétation est l'invariance par translation temporelle. Supposons que
pendant un intervalle de temps I = ]t1, t2 [, l'évolution du système soit décrite par
l'application Supposons qu'on étudie le système à une autre époque, pendant un intervalle de temps
]t1 + t0 , t2 + t0[ (bien entendu, t0 pouvant être positif ou négatif). Supposons aussi qu'à
l'instant a+ t0 , le système soit dans l'état 1/J(a + t0 ) =
que pendant l'intervalle de temps ]t1, t2 [,c'est-à-dire qu'elle soit décrite par 1' application
1/J: s f--71/J(s) =
représentation d'un instant particulier du temps par un nombre réel t suppose le choix d'une
origine du temps, c'est-à-dire d'un instant qui correspondra au réel t = O. Elle suppose
aussi le choix d'une unité de temps, et d'une orientation du temps, mais nous n'examinerons
pas ici les questions soulevées par ces choix. Considérons un système autonome, c'est-àdire un système dont 1 'évolution infinitésimale, à un instant donné, ne dépend que de l'état
instantané de ce système. Choisissons une origine du temps (ainsi qu'une unité de temps et
une orientation), afin de pouvoir repérer le temps par un paramètre réel t, et supposons que
pour ce choix, l'évolution du système soit régie par un équation différentielle du premier
ordre, sous forme canonique. Cette équation est autonome, de la forme (5); cela traduit
en effet l'autonomie du système. Nous devons nous demander comment cette équation
est modifiée lorsqu'on change d'origine du temps. La réponse est très simple: l'équation
n'est pas modifiée. En effet, cette équation exprime simplement la manière dont l'évolution
infinitésimale du système à cet instant; cette dépendance est exprimée par l'application f. Cette application, qui
met en relation état instantané du système et évolution infinitésimale instantanée, ne doit
pas dépendre du choix d'une origine du temps. Soit équation qui représente l'évolution du système pour un choix particulier de l'origine du
temps. Prenons comme nouvelle origine du temps linstant repéré (avec l'ancienne origine
du temps) par le réel -t0 . La même évolution du système est maintenant représentée par
l'application'lj; = c.poTt 0 : I+to --t E,1/J(s) = c.p(s-t0 ).Commel'équationdifférentielle
n'a pas été modifiée par le changement d'origine du temps, l'application 1/J doit être elle
aussi solution de l'équation (5).
b) Retour à une équation autonome. - La recherche des solutions d'une équation
différentielle non autonome dans l'espace E, de forme (1), peut se ramener à celle des
solutions d'une équation autonome dans l'espace F = lR x E. Soit en effet une solution de ( 1). Désignons par x l'application de I dans F :
t f--7 x(t) = (t, c.p(t)).
Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
du système
système, et ne fait intervenir aucun élément extérieur au système. La proposition 2.2 traduit
une propriété remarquable, mais assez évidente intuitivement, des sytèmes régis par des
équations différentielles autonomes, qui peut d'ailleurs être interprétée de deux façons
différentes, indiquées ci-dessous. Bien entendu, ces interprétations sortent quelque peu du
domaine strict des mathématiques, puisqu'elles concernent l'utilisation des mathématiques
pour la description de phénomènes physiques.
La première interprétation est l'invariance par translation temporelle. Supposons que
pendant un intervalle de temps I = ]t1, t2 [, l'évolution du système soit décrite par
l'application Supposons qu'on étudie le système à une autre époque, pendant un intervalle de temps
]t1 + t0 , t2 + t0[ (bien entendu, t0 pouvant être positif ou négatif). Supposons aussi qu'à
l'instant a+ t0 , le système soit dans l'état 1/J(a + t0 ) =
que pendant l'intervalle de temps ]t1, t2 [,c'est-à-dire qu'elle soit décrite par 1' application
1/J: s f--71/J(s) =
représentation d'un instant particulier du temps par un nombre réel t suppose le choix d'une
origine du temps, c'est-à-dire d'un instant qui correspondra au réel t = O. Elle suppose
aussi le choix d'une unité de temps, et d'une orientation du temps, mais nous n'examinerons
pas ici les questions soulevées par ces choix. Considérons un système autonome, c'est-àdire un système dont 1 'évolution infinitésimale, à un instant donné, ne dépend que de l'état
instantané de ce système. Choisissons une origine du temps (ainsi qu'une unité de temps et
une orientation), afin de pouvoir repérer le temps par un paramètre réel t, et supposons que
pour ce choix, l'évolution du système soit régie par un équation différentielle du premier
ordre, sous forme canonique. Cette équation est autonome, de la forme (5); cela traduit
en effet l'autonomie du système. Nous devons nous demander comment cette équation
est modifiée lorsqu'on change d'origine du temps. La réponse est très simple: l'équation
n'est pas modifiée. En effet, cette équation exprime simplement la manière dont l'évolution
infinitésimale du système à cet instant; cette dépendance est exprimée par l'application f. Cette application, qui
met en relation état instantané du système et évolution infinitésimale instantanée, ne doit
pas dépendre du choix d'une origine du temps. Soit équation qui représente l'évolution du système pour un choix particulier de l'origine du
temps. Prenons comme nouvelle origine du temps linstant repéré (avec l'ancienne origine
du temps) par le réel -t0 . La même évolution du système est maintenant représentée par
l'application'lj; = c.poTt 0 : I+to --t E,1/J(s) = c.p(s-t0 ).Commel'équationdifférentielle
n'a pas été modifiée par le changement d'origine du temps, l'application 1/J doit être elle
aussi solution de l'équation (5).
b) Retour à une équation autonome. - La recherche des solutions d'une équation
différentielle non autonome dans l'espace E, de forme (1), peut se ramener à celle des
solutions d'une équation autonome dans l'espace F = lR x E. Soit en effet une solution de ( 1). Désignons par x l'application de I dans F :
t f--7 x(t) = (t, c.p(t)).