§ 2. Équations différentielles autonomes
En d'autres termes, les deux composantes XI et x2 de x ont pour expressions
XI(t)=t,
x2(t) = cp(t).
Désignons par g = (gI, g2) l'application de la partie 0 de F = lR x E dans F :
(t,x) i--; g(t,x) = (l,f(t,x)),
c'est-à-dire
gI(t,x)=l,
g2(t, x) = f(t, x).
Nous voyons alors que x est solution de l'équation différentielle autonome
x'(t) = g(x(t)),
qui s'écrit, en explicitant ses composantes,
{
X~ (t) = 1,
x~(t) = f(xI(t),x2(t)).
99
(6)
(7)
Réciproquement, soit x = (XI, x2) une solution de (6). La première équation (7) montre
que XI a pour expression
XI (t) = t + to,
où t0 est une constante réelle. Grâce à la proposition 2.2, en composant x avec la translation
Tt 0 , nous pouvons nous ramener au cas où
XI(t)=t.
Nous voyons alors immédiatement que la seconde composante x2 de x est solution de
l'équation différentielle non autonome (1).
c) Équations autonomes d'ordre supérieur. - Par souci de simplicité, nous avons
défini les équations différentielles autonomes du premier ordre. La définition s'étend sans
difficulté aux ordres supérieurs : une équation différentielle autonome d'ordre n, dans
l'espace vectoriel réel normé E, est une relation de la forme
( 8)
où X est une application d'une partie U de E x · · · x E (n facteurs E) dans E. Une
solution de cette équation est une application n fois différentiable cp d'un intervalle ouvert
Ide lR dans E, telle que pour tout t E J, (cp(t), cp'(t), ... , cp
n; il suffit, pour s'en convaincre, d'utiliser la méthode indiquée en 1.4 pour ramener ces
équations à des équations autonomes du premier ordre.
2.4. Interprétation géométrique et mécanique. - Considérons l'équation différentielle
autonome (5). Rappelons que l'application X, qui à tout point x de la partie U de E
fait correspondre l'élément X (x) de E, est appelée champ de vecteurs sur U. Soit cp
une application d'un intervalle ouvert Ide lR dans E. L'application paramétrée dans E. Si élément de E. En mécanique, la variable t E I représente souvent le temps, et l'application
représente alors la vitesse de ce point mobile à l'instant t. Dire que l'équation différentielle autonome ( 5) équivaut à dire que tout t E J, le vecteur vitesse cp'(t) du point mobile à l'instant test précisément égal à la,...
valeur du champ de vecteurs X au point cp(t) (qui est la position dans l'espace E du poi9!~·,·
mobile considéré à l'instant t).
f
En d'autres termes, les deux composantes XI et x2 de x ont pour expressions
XI(t)=t,
x2(t) = cp(t).
Désignons par g = (gI, g2) l'application de la partie 0 de F = lR x E dans F :
(t,x) i--; g(t,x) = (l,f(t,x)),
c'est-à-dire
gI(t,x)=l,
g2(t, x) = f(t, x).
Nous voyons alors que x est solution de l'équation différentielle autonome
x'(t) = g(x(t)),
qui s'écrit, en explicitant ses composantes,
{
X~ (t) = 1,
x~(t) = f(xI(t),x2(t)).
99
(6)
(7)
Réciproquement, soit x = (XI, x2) une solution de (6). La première équation (7) montre
que XI a pour expression
XI (t) = t + to,
où t0 est une constante réelle. Grâce à la proposition 2.2, en composant x avec la translation
Tt 0 , nous pouvons nous ramener au cas où
XI(t)=t.
Nous voyons alors immédiatement que la seconde composante x2 de x est solution de
l'équation différentielle non autonome (1).
c) Équations autonomes d'ordre supérieur. - Par souci de simplicité, nous avons
défini les équations différentielles autonomes du premier ordre. La définition s'étend sans
difficulté aux ordres supérieurs : une équation différentielle autonome d'ordre n, dans
l'espace vectoriel réel normé E, est une relation de la forme
( 8)
où X est une application d'une partie U de E x · · · x E (n facteurs E) dans E. Une
solution de cette équation est une application n fois différentiable cp d'un intervalle ouvert
Ide lR dans E, telle que pour tout t E J, (cp(t), cp'(t), ... , cp
n; il suffit, pour s'en convaincre, d'utiliser la méthode indiquée en 1.4 pour ramener ces
équations à des équations autonomes du premier ordre.
2.4. Interprétation géométrique et mécanique. - Considérons l'équation différentielle
autonome (5). Rappelons que l'application X, qui à tout point x de la partie U de E
fait correspondre l'élément X (x) de E, est appelée champ de vecteurs sur U. Soit cp
une application d'un intervalle ouvert Ide lR dans E. L'application paramétrée dans E. Si élément de E. En mécanique, la variable t E I représente souvent le temps, et l'application
représente alors la vitesse de ce point mobile à l'instant t. Dire que l'équation différentielle autonome ( 5) équivaut à dire que tout t E J, le vecteur vitesse cp'(t) du point mobile à l'instant test précisément égal à la,...
valeur du champ de vecteurs X au point cp(t) (qui est la position dans l'espace E du poi9!~·,·
mobile considéré à l'instant t).
f