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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
De même, considérons l'équation différentielle non autonome ( 1). L'application f est
appelée champ de vecteurs dépendant du temps : pour tout t E IR fixé, f associe en effet
à tout point x de Ut= { x E E ; (t,x) En} un élément f(t,x) de E; nous avons
donc bien sur Ut un champ de vecteurs, qui dépend, ainsi d'ailleurs que son domaine
de définition Ut. du paramètre t. Dire qu'une application différentiable 'P de l'intervalle
ouvert Ide IR dans E est solution de l'équation différentielle non autonome (1) équivaut
à dire que pour tout t E I, cp(t) est élément du domaine de définition Ut de f à l'instant
t, et que Je vecteur vitesse cp' ( t) à cet instant est précisément égal à la valeur du champ de
vitesses dépendant du temps f, à l'instant t et au point cp( t) qu'occupe le mobile considéré
à l'instant t.
La méthode exposée au paragraphe 2.3.b, qui a permis de ramener la recherche des solutions
d'une équation non autonome à celle des solutions d'une équation autonome, consiste à
associer au champ de vecteurs dépendant du temps f sur la partie n de F = IR x E, un
champ de vecteurs au sens usuel sur n, associant au point ( t, x) de n l'élément ( 1, f ( t, x))
deF =IR x E.
3. Équations différentielles sous forme non canonique
3.1. Définition. - Soit E un espace vectoriel réel normé, et g une application d'une
partie n de IR x E x · · · x E (n + 1 facteurs E) dans un autre espace vectoriel réel
normé F. On considère la relation
g(t, cp(t), cp'(t),. . ., 'P(n)(t)) = 0.
(9)
On dit que c'est une équation différentielle d'ordre n, sous/orme implicite. Une solution
de cette équation est une application n fois différentiable 'P d'un intervalle ouvert
I de IR dans E, telle que pour tout t E I, (t, cp(t), cp'(t), ... , cp(n)(t)) soit élément
den et vérifie (9).
3.2. Mise sous forme canonique. - Nous considèrerons ici seulement le cas où E
et F sont complets et isomorphes. Nous supposerons de plus que n est un ouvert de
IR x En+i et que g est une application différentiable de classe Ck (k ;:::: 1) de n
dans F. Soit (t0 , ao, ai, ... , an) un point den tel que g(t0 , a0 , ai, ... , an) = O. Si la
différentielle partielle g~n ( to, ao, ai, ... , an) est un isomorphisme de E sur F, le théorème
des fonctions implicites montre qu'il existe un voisinage ouvert ni de ( t0 , a0 , ai, ... , an)
dans IR X En+i, ni c n, un voisinage ouvert w de (to, ao, ai, ... ' an-i) dans IR X En'
et une application différentiable h de classe Ck de W dans E telle que l'on ait
(t, Xo, Xi, ... , Xn) E Oi et g(t, Xo, Xi, ... , Xn) = Ü
si et seulement si
(t, xo, Xi, ... ' Xn-i) E w et Xn = h(t, Xo, X1, ... 'Xn-i).
Soit alors 'P : I -4 E une solution de (9) telle que t0 E I et que cp(t0 ) = a0 ,
cp'(t0 ) =ai, .. ., cp(n)(t0 ) =an. En restreignant si nécessaire I nous pouvons supposer
que pour tout t E l, (t, cp(t), cp'(t), .. ., 'P(n)(t)) E Oi. Mais alors pour tout t E l,
( t, cp(t), cp' (t), ... , cp
(10)
Nous voyons donc que 'P est solution de l'équation différentielle (10), qui est une
équation d'ordre n sous forme canonique. Réciproquement, soit 'P : I -4 E une solution
Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
De même, considérons l'équation différentielle non autonome ( 1). L'application f est
appelée champ de vecteurs dépendant du temps : pour tout t E IR fixé, f associe en effet
à tout point x de Ut= { x E E ; (t,x) En} un élément f(t,x) de E; nous avons
donc bien sur Ut un champ de vecteurs, qui dépend, ainsi d'ailleurs que son domaine
de définition Ut. du paramètre t. Dire qu'une application différentiable 'P de l'intervalle
ouvert Ide IR dans E est solution de l'équation différentielle non autonome (1) équivaut
à dire que pour tout t E I, cp(t) est élément du domaine de définition Ut de f à l'instant
t, et que Je vecteur vitesse cp' ( t) à cet instant est précisément égal à la valeur du champ de
vitesses dépendant du temps f, à l'instant t et au point cp( t) qu'occupe le mobile considéré
à l'instant t.
La méthode exposée au paragraphe 2.3.b, qui a permis de ramener la recherche des solutions
d'une équation non autonome à celle des solutions d'une équation autonome, consiste à
associer au champ de vecteurs dépendant du temps f sur la partie n de F = IR x E, un
champ de vecteurs au sens usuel sur n, associant au point ( t, x) de n l'élément ( 1, f ( t, x))
deF =IR x E.
3. Équations différentielles sous forme non canonique
3.1. Définition. - Soit E un espace vectoriel réel normé, et g une application d'une
partie n de IR x E x · · · x E (n + 1 facteurs E) dans un autre espace vectoriel réel
normé F. On considère la relation
g(t, cp(t), cp'(t),. . ., 'P(n)(t)) = 0.
(9)
On dit que c'est une équation différentielle d'ordre n, sous/orme implicite. Une solution
de cette équation est une application n fois différentiable 'P d'un intervalle ouvert
I de IR dans E, telle que pour tout t E I, (t, cp(t), cp'(t), ... , cp(n)(t)) soit élément
den et vérifie (9).
3.2. Mise sous forme canonique. - Nous considèrerons ici seulement le cas où E
et F sont complets et isomorphes. Nous supposerons de plus que n est un ouvert de
IR x En+i et que g est une application différentiable de classe Ck (k ;:::: 1) de n
dans F. Soit (t0 , ao, ai, ... , an) un point den tel que g(t0 , a0 , ai, ... , an) = O. Si la
différentielle partielle g~n ( to, ao, ai, ... , an) est un isomorphisme de E sur F, le théorème
des fonctions implicites montre qu'il existe un voisinage ouvert ni de ( t0 , a0 , ai, ... , an)
dans IR X En+i, ni c n, un voisinage ouvert w de (to, ao, ai, ... ' an-i) dans IR X En'
et une application différentiable h de classe Ck de W dans E telle que l'on ait
(t, Xo, Xi, ... , Xn) E Oi et g(t, Xo, Xi, ... , Xn) = Ü
si et seulement si
(t, xo, Xi, ... ' Xn-i) E w et Xn = h(t, Xo, X1, ... 'Xn-i).
Soit alors 'P : I -4 E une solution de (9) telle que t0 E I et que cp(t0 ) = a0 ,
cp'(t0 ) =ai, .. ., cp(n)(t0 ) =an. En restreignant si nécessaire I nous pouvons supposer
que pour tout t E l, (t, cp(t), cp'(t), .. ., 'P(n)(t)) E Oi. Mais alors pour tout t E l,
( t, cp(t), cp' (t), ... , cp
(10)
Nous voyons donc que 'P est solution de l'équation différentielle (10), qui est une
équation d'ordre n sous forme canonique. Réciproquement, soit 'P : I -4 E une solution