§ 4. Intégrales premières
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de (10) telle que to E I et que
( t,
applicable, de ramener la recherche de solutions de l'équation différentielle (9), sous
forme implicite, à la recherche de solutions d'une équation différentielle (10) sous forme
canonique. Il importe toutefois de remarquer que d'un point de vue global, les équations
(9) et (10) ne sont pas équivalentes.
4. Intégrales premières
4.1. Définition. - Soit E un espace de Banach et n un ouvert de lR x E. On
considère l'équation différentielle
où f est une application de n dans E. On appelle intégrale première de cette
équation une fonction g : n --t lR telle que, pour toute solution l'équation différentielle (11), la fonction composée t 1-t g(t,
4.2. Commentaires
a) Intégrales premières à valeurs vectorielles. - Par souci de rester à un niveau
élémentaire, nous avons défini ci-dessus les intégrales premières à valeurs réelles d'une
équation différentielle. On définit de même, de manière évidente, les intégrales premières
à valeurs dans !Rn, ou dans un espace vectoriel normé quelconque. Bien entendu, chaque
composante d'une intégrale première à valeurs dans !Rn est une intégrale première à valeurs
réelles, au sens de la définition précédente.
Des intégrales premières à valeurs vectorielles apparaissent, de manière naturelle, dans
de nombreux problèmes. Ainsi par exemple, l'étude de certaines équations différentielles
admettant un groupe de symétries conduit très naturellement à considérer des intégrales
premières à valeurs dans le dual d'une algèbre de Lie de dimension finie. Le lecteur ayant
quelques notions de Mécanique se souviendra peut-être de la quantité de mouvement
(appelée aussi impulsion) et du moment cinétique d'un système mécanique par rapport à
un point. Sous des hypothèses convenables, ce sont des intégrales premières de l'équation
différentielle qui régit l'évolution du système. Chacune d'elles est à valeurs dans un espace
vectoriel de dimension 3. Ensemble, elles constituent une intégrale première à valeurs dans
le dual de l'algèbre de Lie (de dimension 6) du groupe des déplacements euclidiens de
l'espace. En considérant les composantes de ces intégrales premières dans une base de
lespace vectoriel dans lequel elles prennent leurs valeurs, on peut bien sûr faire en sorte
de n'avoir à considérer que des intégrales premières à valeurs réelles. Mais en procédant
ainsi, on oublie la nature géométrique de ces intégrales premières; par le choix d'une
base arbitraire, on introduit des éléments étrangers au problème étudié, et on perd une
information importante.
b) Intégrales premières indépendantes du temps. - Supposons l'ouvert n de lR XE
sur lequel est définie l'équation différentielle considérée de la forme n = lR x U, où U est
un ouvert de E. C'est le cas, notamment, lorsque cette équation différentielle est autonome.
Il est alors naturel de s'intéresser en priorité aux intégrales premières g : 1R, x U --t lR qui
ne dépendent pas de la première variable t E IR, et sont donc en fait définies sur louvert
U de E. On dit que ces intégrales premières ne dépendent pas du temps.
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de (10) telle que to E I et que
( t,
applicable, de ramener la recherche de solutions de l'équation différentielle (9), sous
forme implicite, à la recherche de solutions d'une équation différentielle (10) sous forme
canonique. Il importe toutefois de remarquer que d'un point de vue global, les équations
(9) et (10) ne sont pas équivalentes.
4. Intégrales premières
4.1. Définition. - Soit E un espace de Banach et n un ouvert de lR x E. On
considère l'équation différentielle
où f est une application de n dans E. On appelle intégrale première de cette
équation une fonction g : n --t lR telle que, pour toute solution l'équation différentielle (11), la fonction composée t 1-t g(t,
4.2. Commentaires
a) Intégrales premières à valeurs vectorielles. - Par souci de rester à un niveau
élémentaire, nous avons défini ci-dessus les intégrales premières à valeurs réelles d'une
équation différentielle. On définit de même, de manière évidente, les intégrales premières
à valeurs dans !Rn, ou dans un espace vectoriel normé quelconque. Bien entendu, chaque
composante d'une intégrale première à valeurs dans !Rn est une intégrale première à valeurs
réelles, au sens de la définition précédente.
Des intégrales premières à valeurs vectorielles apparaissent, de manière naturelle, dans
de nombreux problèmes. Ainsi par exemple, l'étude de certaines équations différentielles
admettant un groupe de symétries conduit très naturellement à considérer des intégrales
premières à valeurs dans le dual d'une algèbre de Lie de dimension finie. Le lecteur ayant
quelques notions de Mécanique se souviendra peut-être de la quantité de mouvement
(appelée aussi impulsion) et du moment cinétique d'un système mécanique par rapport à
un point. Sous des hypothèses convenables, ce sont des intégrales premières de l'équation
différentielle qui régit l'évolution du système. Chacune d'elles est à valeurs dans un espace
vectoriel de dimension 3. Ensemble, elles constituent une intégrale première à valeurs dans
le dual de l'algèbre de Lie (de dimension 6) du groupe des déplacements euclidiens de
l'espace. En considérant les composantes de ces intégrales premières dans une base de
lespace vectoriel dans lequel elles prennent leurs valeurs, on peut bien sûr faire en sorte
de n'avoir à considérer que des intégrales premières à valeurs réelles. Mais en procédant
ainsi, on oublie la nature géométrique de ces intégrales premières; par le choix d'une
base arbitraire, on introduit des éléments étrangers au problème étudié, et on perd une
information importante.
b) Intégrales premières indépendantes du temps. - Supposons l'ouvert n de lR XE
sur lequel est définie l'équation différentielle considérée de la forme n = lR x U, où U est
un ouvert de E. C'est le cas, notamment, lorsque cette équation différentielle est autonome.
Il est alors naturel de s'intéresser en priorité aux intégrales premières g : 1R, x U --t lR qui
ne dépendent pas de la première variable t E IR, et sont donc en fait définies sur louvert
U de E. On dit que ces intégrales premières ne dépendent pas du temps.