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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
c) Intégrales premières différentiables. -- Les intégrales premières utilisées en pratique
sont le plus souvent différentiables.
4.3. Proposition. -
Les hypothèses et notations étant celles de la définition 4.1,
soit g : 0 ~ IR une fonction différentiable.
1. Supposons que pour tout ( t, X) E n, la fonction g vérine
8g(t, x)
at + Dxg(t,x)(f(t,x)) = 0,
(12)
où 89 ~~x) et Dxg(t,x) désignent, respectivement, la dérivée partielle de g (au
sens usuel) par rapport à sa première variable t, et la différentielle partielle de
g par rapport à sa seconde variable, au point (t, x). Alors, la fonction g est une
intégrale première de l'équation différentielle ( 11).
2. Réciproquement, supposons que g soit une intégrale première del 'équation (11).
S'il existe une solution

(12) est vérifiée en tout point (t0 , x0 = Preuve : Soit

t r-t g( t, l'application t r-t ( t, de la formule de dérivation des applications composées,
:t g(t, = Dtg(t, 8g(t,x) j
j
(
)
= a
+Dxg(t,x)
f(t, t
x=cp(t)
x=cp(t)
Supposons la relation (12) vérifiée pour tout ( t, x) E O. Pour toute solution

de l'équation différentielle (11), l'application t r-t g(t, dérivée est identiquement nulle. La fonction g est bien une intégrale première de l'équation
(11).
Réciproquement, supposons que g soit une intégrale première de l'équation (11), et que
cette équation admette une solution

est constante sur I. En exprimant que sa dérivée au point t0 est nulle, nous voyons que
l'égalité (12) est vérifiée au point (t0 , x0 = D
4.4. Commentaires
a) Équation aux dérivées partielles associée. - L'égalité (12) de la proposition
précédente exprime une relation vérifiée par la différentielle de la fonction g. On dit
que c'est une équation aux dérivées partielles, pour la fonction inconnue g. Cette équation
est dite du premier ordre, car elle ne fait intervenir que la différentielle première de g. Elle
est dite aussi linéaire et homogène, car elle exprime une relation linéaire vérifiée par la
différentielle de g.
L'équation aux dérivées partielles (12) est dite associée à l'équation différentielle (11).
Supposons que pour tout (t0 , x 0 ) E n, il existe une solution

différentielle ( 11) vérifiant t0 E I et que cette propriété est notamment vérifiée lorsque l'équation différentielle considérée
satisfait les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. Une fonction différentiable
définie sur n est alors une intégrale première de cette équation si et seulement si elle est
solution de l'équation aux dérivées partielles (12).