§ 5. Effets de quelques transformations
103
b) Dérivée de Lie. - Nous supposons maintenant que l'équation différentielle considérée
est autonome, de la forme
ip' ( t) = X ( (13)
où X est un champ de vecteurs défini sur une partie U de l'espace E. Nous nous intéressons
particulièrement aux intégrales premières g : U ---+ lR de l'équation (13) qui ne dépendent
pas du temps.
Soit g : U ---+ lR une fonction différentiable. On appelle dérivée de Lie de la fonction g
relativement au champ de vecteurs X, et on note C(X)g (ou parfois Cxg), la fonction,
définie sur U,
x 1-t C(X)g(x) = Dg(x)(X(x)).
C'est la fonction dont la valeur, en chaque point x E U, est la dérivée directionnelle de g
au point x dans la direction du vecteur X (x) (voir I.1.6.a).
L'équation aux dérivées partielles du premier ordre associée à l'équation différentielle
autonome (13) s'écrit maintenant
C(X)g = 0.
(14)
Nous verrons dans le prochain paragraphe que la connaissance d'une intégrale première
d'une équation différentielle permet de diminuer d'une unité la dimension de l'espace dans
lequel les solutions cherchées prennent leurs valeurs.
5. Effets de quelques transformations
Nous étudions dans ce paragraphe quelques transformations qui permettent, dans certains
cas, de ramener la recherche des solutions d'une équation différentielle à celle des solutions
d'une autre équation que l'on sait résoudre.
5.1. Transformation par un difféomorphisme local.
Considérons l'équation
différentielle autonome
ip'(t) = X(ip(t)),
(15)
où X est un champ de vecteurs défini sur une partie U de l'espace de Banach E. Soit
Vi un ouvert d'un autre espace de banach E1 , et k : Vi ---+ E un difféomorphisme local
de classe CP, p ~ 1, c'est-à-dire une application différentiable de classe CP de l'ouvert
Vi de E 1 dans E, dont la différentielle Dk(y), en chaque point y de Vi. est un élément
inversible de ,C(E1 , E). Le théorème d'inversion locale nous permet alors d'affirmer que
tout point y de Vi possède un voisinage Wy C Vi, tel que k(Wy) soit un ouvert de E, et
que la restriction de k à Wy soit un difféomorphisme de classe CP de Wy sur k(Wy)·
k Mais attention : l'application k, n'étant pas nécessairement injective, n'est peut-être
Y pas elle-même un difféomorphisme. Remarquons toutefois que c'est une application
ouverte, donc que k(Vi) est un ouvert de E.
Par exemple, l'application de JO, +oo[ xlR dans JR 2 \ { (0, 0)} :
(r,e) 1-t (x = rcose,y = rsine),
est un difféomorphisme local bien connu: c'est l'emploi de coordonnées polaires dans le
plan privé de !'origine.
Nous supposerons désormais que k(Vi) =:> U. Posons U1 = k- 1 (U) et, pour tout y E U1,
X1(Y) = (Dk(y))- 1 ( X(k(y))).
L'application X 1 : U 1 ---+ E 1 ainsi définie est un champ de vecteurs sur U1, appelé image
réciproque du champ de vecteurs X par le difféomorphisme local k. Il est souvent noté
X1 = k* X.
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b) Dérivée de Lie. - Nous supposons maintenant que l'équation différentielle considérée
est autonome, de la forme
ip' ( t) = X ( (13)
où X est un champ de vecteurs défini sur une partie U de l'espace E. Nous nous intéressons
particulièrement aux intégrales premières g : U ---+ lR de l'équation (13) qui ne dépendent
pas du temps.
Soit g : U ---+ lR une fonction différentiable. On appelle dérivée de Lie de la fonction g
relativement au champ de vecteurs X, et on note C(X)g (ou parfois Cxg), la fonction,
définie sur U,
x 1-t C(X)g(x) = Dg(x)(X(x)).
C'est la fonction dont la valeur, en chaque point x E U, est la dérivée directionnelle de g
au point x dans la direction du vecteur X (x) (voir I.1.6.a).
L'équation aux dérivées partielles du premier ordre associée à l'équation différentielle
autonome (13) s'écrit maintenant
C(X)g = 0.
(14)
Nous verrons dans le prochain paragraphe que la connaissance d'une intégrale première
d'une équation différentielle permet de diminuer d'une unité la dimension de l'espace dans
lequel les solutions cherchées prennent leurs valeurs.
5. Effets de quelques transformations
Nous étudions dans ce paragraphe quelques transformations qui permettent, dans certains
cas, de ramener la recherche des solutions d'une équation différentielle à celle des solutions
d'une autre équation que l'on sait résoudre.
5.1. Transformation par un difféomorphisme local.
Considérons l'équation
différentielle autonome
ip'(t) = X(ip(t)),
(15)
où X est un champ de vecteurs défini sur une partie U de l'espace de Banach E. Soit
Vi un ouvert d'un autre espace de banach E1 , et k : Vi ---+ E un difféomorphisme local
de classe CP, p ~ 1, c'est-à-dire une application différentiable de classe CP de l'ouvert
Vi de E 1 dans E, dont la différentielle Dk(y), en chaque point y de Vi. est un élément
inversible de ,C(E1 , E). Le théorème d'inversion locale nous permet alors d'affirmer que
tout point y de Vi possède un voisinage Wy C Vi, tel que k(Wy) soit un ouvert de E, et
que la restriction de k à Wy soit un difféomorphisme de classe CP de Wy sur k(Wy)·
k Mais attention : l'application k, n'étant pas nécessairement injective, n'est peut-être
Y pas elle-même un difféomorphisme. Remarquons toutefois que c'est une application
ouverte, donc que k(Vi) est un ouvert de E.
Par exemple, l'application de JO, +oo[ xlR dans JR 2 \ { (0, 0)} :
(r,e) 1-t (x = rcose,y = rsine),
est un difféomorphisme local bien connu: c'est l'emploi de coordonnées polaires dans le
plan privé de !'origine.
Nous supposerons désormais que k(Vi) =:> U. Posons U1 = k- 1 (U) et, pour tout y E U1,
X1(Y) = (Dk(y))- 1 ( X(k(y))).
L'application X 1 : U 1 ---+ E 1 ainsi définie est un champ de vecteurs sur U1, appelé image
réciproque du champ de vecteurs X par le difféomorphisme local k. Il est souvent noté
X1 = k* X.