104
Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
Considérons l'équation différentielle
î/J' ( t) = X 1 ( î/J ( t)) .
(16)
Elle est appelée image réciproque de l'équation différentielle (15) par le difféomorphisme
local k.
En utilisant la règle de différentiation des applications composées, on vérifie aisément que
si ' ljJ : I - t E 1 est une solution de l'équation (16), alors c.p = k o ' ljJ : I - t E est une
solution de l'équation (15).
Réciproquement, soit c.p : I - t E une solution de (15). Soit t0 un point de !. Posons
x0 = c.p(to) et soit Yo un point de U1 tel que k(yo) = xo. Soit Wy 0 un voisinage ouvert de
y0 contenu dans Vi. tel que la restriction de k àce voisinage soit un difféomorphisme de Wy 0
sur son image k(Wy 0 ). Notons k- 1 l'inverse de ce difféomorphisme. Soit li le plus grand
intervalle ou vert contenant t0 et contenu dans I tel que, pour tout élément t de cet intervalle,
c.p(t) soit élément de k(Wy 0 ). Soit î/J : li - t E 1 l'applicationt1---t 'ljJ(t) = k- 1 o c.p(t). Il
est facile de vérifier que î/J est une solution de l'équation différentielle (16).
Nous pouvons donc dire que les équations différentielles (15) et (16) sont localement
équivalentes.
Les mêmes considérations s'appliquent sans changement aux équations différentielles non
autonomes.
5.2. Transformation par un difféomorphisme. - Dans les hypothèses du paragraphe
précédent, supposons de plus que k soit un difféomorphisme de l'ouvert Vi de E 1 sur son
image k(Vi). Il est alors facile de voir que les équations différentielles (15) et (16) sont
équivalentes, non seulement localement, mais globalement : une application c.p : I - t E
est solution de (15) si et seulement si ' ljJ = k- 1 o c.p est solution de (16). On dit dans
ce cas que le champ de vecteurs X est image directe du champ de vecteurs X 1 par le
difféomorphisme k, ou que X 1 est image directe de X par le difféomorphisme k- 1 , et on
écrit
Un difféomorphisme d'un ouvert d'un espace vectoriel normé sur un autre ne conserve
évidemment pas la structure vectorielle de ces espaces. Cette remarque devrait permettre
au lecteur perspicace de sentir qu'il existe un cadre mieux adapté à l'étude des équations
différentielles que celui formé par les ouverts d'espaces vectoriels normés : c'est celui
formé par les variétés différentiables. Ce sujet pourra éventuellement être développé dans
un prochain ouvrage de la même collection.
5.3. Application: emploi d'une intégrale première. - Pour simplifier l'exposé, nous
supposons maintenant que E = !Rn, et que le champ de vecteurs X est défini sur un ouvert
U de cet espace. L'équation différentielle autonome (15) s'écrit
dxi(t)
Xi( 1()
n( ))
~ =
X t,. . .,X t ,
(17)
Nous avons noté t 1---t xi(t) les composantes d'une solution c.p, et Xi les composantes du
champ de vecteurs X.
Supposons que l'on connaisse une intégrale première g : U - t lR de l'équation (17),
différentiable de classe Ck (k ~ 1), ne dépendant pas du temps. Supposons aussi que
pour tout point x de U, il existe une solution c.p : I - t !Rn de l'équation (17) vérifiant
0 E I et c.p(O) = x. Cette condition est notamment vérifiée lorsque l'équation (17) satisfait
les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, étudié dans le prochain chapitre. Nous
savons alors (4.4.a et b) que g est solution de l'équation aux dérivées partielles L(X)g = 0,
Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
Considérons l'équation différentielle
î/J' ( t) = X 1 ( î/J ( t)) .
(16)
Elle est appelée image réciproque de l'équation différentielle (15) par le difféomorphisme
local k.
En utilisant la règle de différentiation des applications composées, on vérifie aisément que
si ' ljJ : I - t E 1 est une solution de l'équation (16), alors c.p = k o ' ljJ : I - t E est une
solution de l'équation (15).
Réciproquement, soit c.p : I - t E une solution de (15). Soit t0 un point de !. Posons
x0 = c.p(to) et soit Yo un point de U1 tel que k(yo) = xo. Soit Wy 0 un voisinage ouvert de
y0 contenu dans Vi. tel que la restriction de k àce voisinage soit un difféomorphisme de Wy 0
sur son image k(Wy 0 ). Notons k- 1 l'inverse de ce difféomorphisme. Soit li le plus grand
intervalle ou vert contenant t0 et contenu dans I tel que, pour tout élément t de cet intervalle,
c.p(t) soit élément de k(Wy 0 ). Soit î/J : li - t E 1 l'applicationt1---t 'ljJ(t) = k- 1 o c.p(t). Il
est facile de vérifier que î/J est une solution de l'équation différentielle (16).
Nous pouvons donc dire que les équations différentielles (15) et (16) sont localement
équivalentes.
Les mêmes considérations s'appliquent sans changement aux équations différentielles non
autonomes.
5.2. Transformation par un difféomorphisme. - Dans les hypothèses du paragraphe
précédent, supposons de plus que k soit un difféomorphisme de l'ouvert Vi de E 1 sur son
image k(Vi). Il est alors facile de voir que les équations différentielles (15) et (16) sont
équivalentes, non seulement localement, mais globalement : une application c.p : I - t E
est solution de (15) si et seulement si ' ljJ = k- 1 o c.p est solution de (16). On dit dans
ce cas que le champ de vecteurs X est image directe du champ de vecteurs X 1 par le
difféomorphisme k, ou que X 1 est image directe de X par le difféomorphisme k- 1 , et on
écrit
Un difféomorphisme d'un ouvert d'un espace vectoriel normé sur un autre ne conserve
évidemment pas la structure vectorielle de ces espaces. Cette remarque devrait permettre
au lecteur perspicace de sentir qu'il existe un cadre mieux adapté à l'étude des équations
différentielles que celui formé par les ouverts d'espaces vectoriels normés : c'est celui
formé par les variétés différentiables. Ce sujet pourra éventuellement être développé dans
un prochain ouvrage de la même collection.
5.3. Application: emploi d'une intégrale première. - Pour simplifier l'exposé, nous
supposons maintenant que E = !Rn, et que le champ de vecteurs X est défini sur un ouvert
U de cet espace. L'équation différentielle autonome (15) s'écrit
dxi(t)
Xi( 1()
n( ))
~ =
X t,. . .,X t ,
(17)
Nous avons noté t 1---t xi(t) les composantes d'une solution c.p, et Xi les composantes du
champ de vecteurs X.
Supposons que l'on connaisse une intégrale première g : U - t lR de l'équation (17),
différentiable de classe Ck (k ~ 1), ne dépendant pas du temps. Supposons aussi que
pour tout point x de U, il existe une solution c.p : I - t !Rn de l'équation (17) vérifiant
0 E I et c.p(O) = x. Cette condition est notamment vérifiée lorsque l'équation (17) satisfait
les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, étudié dans le prochain chapitre. Nous
savons alors (4.4.a et b) que g est solution de l'équation aux dérivées partielles L(X)g = 0,