§ 5. Effets de quelques transformations
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qui s'écrit
L n Xi( 1 n) âg(xl,. .. 'xn) -- 0
X, ... ,X
a .
.
xi
i=l
Soit a = (a 1 , ... , an) un point de U tel que Dg( a) -:/= O. Il existe donc une des coordonnées
xi (1 ~ i ~ n) telle que ::i (a 1 , ... , an) -:/= O. Supposons, par exemple, que ce soit x 1 .
Au voisinage du point a, l'application
(xl' ... 'xn) t-+ (yl = g(x1, ... 'Xn), y2 = X2, ... ' yn = xn)
est un difféomorphisme local. La restriction de cette application à un voisinage ouvert
convenablement choisi V du point a (V c U) est donc un difféomorphisme h de V sur
un ouvert h(V) de !Rn. L'iinage directe Y= h*X du champ de vecteurs X (restreint à V)
par le difféomorphisme h a pour composantes
Y 1 (y1, ... , yn) = 0, et pour 2 ~ i ~ n, Yi(y 1 , ... , yn) = Xi(x 1 , ... , xn),
où (x1, ... ,xn) = h- 1 ((y 1 , ... ,yn)). L'équation différentielle (17), restreinte à V,
transformée par le difféomorphisme h, devient donc
dy 1 (t) Ü
.
dyi(t) yi( 1( )
n( ))
~ = , et pour 2 ~ i ~ n, ~ =
y t , ... , y t .
La première composante de cette équation a pour solutions y 1 (t) = c, où c est une
constante réelle. En portant cette valeur de y 1 dans les autres composantes de l'équation,
nous obtenons une équation différentielle dans !Rn- 1 ,
dyi(t)
yi( 2()
n( ))
~ = c, y t , ... , y t ,
2 ~ i ~ n.
Ainsi, la connaissance de l'intégrale première g a permis de diminuer d'une unité la
dimension de l'espace dans lequel on doit chercher les solutions de l'équation différentielle
étudiée.
5.4. Changement de temps. - Considérons l'équation différentielle, dans l'espace de
Banach E,
(t) = f (t,
où f est une application d'un ouvert 0 de lR x E dans E. Effectuer un changement de
temps dans cette équation consiste à paramétrer les solutions non plus au moyen de la
variable t, mais au moyen d'une autre variable s, qui sera déterminée en fonction de t en
même temps que la solution cherchée.
a) Premier type de changement de temps. - Le type le plus simple (mais le moins
utile) de changement de temps consiste à prendre une application T : lR ---> IR, différentiable
de classe Ck, avec k 2: 1, dont la dérivée est partout strictement positive. L'application T
est donc strictement croissante, et c'est un difféomorphisme de lR sur un intervalle ouvert
r(JR). Nous supposerons dans la suite que 0 c r(IR) x E.
Soit
transformée de (18) par le changement de temps t 1-+ s, ou que (18) est la transformée de
(19) par le changement de temps s 1-+ t.
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qui s'écrit
L n Xi( 1 n) âg(xl,. .. 'xn) -- 0
X, ... ,X
a .
.
xi
i=l
Soit a = (a 1 , ... , an) un point de U tel que Dg( a) -:/= O. Il existe donc une des coordonnées
xi (1 ~ i ~ n) telle que ::i (a 1 , ... , an) -:/= O. Supposons, par exemple, que ce soit x 1 .
Au voisinage du point a, l'application
(xl' ... 'xn) t-+ (yl = g(x1, ... 'Xn), y2 = X2, ... ' yn = xn)
est un difféomorphisme local. La restriction de cette application à un voisinage ouvert
convenablement choisi V du point a (V c U) est donc un difféomorphisme h de V sur
un ouvert h(V) de !Rn. L'iinage directe Y= h*X du champ de vecteurs X (restreint à V)
par le difféomorphisme h a pour composantes
Y 1 (y1, ... , yn) = 0, et pour 2 ~ i ~ n, Yi(y 1 , ... , yn) = Xi(x 1 , ... , xn),
où (x1, ... ,xn) = h- 1 ((y 1 , ... ,yn)). L'équation différentielle (17), restreinte à V,
transformée par le difféomorphisme h, devient donc
dy 1 (t) Ü
.
dyi(t) yi( 1( )
n( ))
~ = , et pour 2 ~ i ~ n, ~ =
y t , ... , y t .
La première composante de cette équation a pour solutions y 1 (t) = c, où c est une
constante réelle. En portant cette valeur de y 1 dans les autres composantes de l'équation,
nous obtenons une équation différentielle dans !Rn- 1 ,
dyi(t)
yi( 2()
n( ))
~ = c, y t , ... , y t ,
2 ~ i ~ n.
Ainsi, la connaissance de l'intégrale première g a permis de diminuer d'une unité la
dimension de l'espace dans lequel on doit chercher les solutions de l'équation différentielle
étudiée.
5.4. Changement de temps. - Considérons l'équation différentielle, dans l'espace de
Banach E,
(t) = f (t,
où f est une application d'un ouvert 0 de lR x E dans E. Effectuer un changement de
temps dans cette équation consiste à paramétrer les solutions non plus au moyen de la
variable t, mais au moyen d'une autre variable s, qui sera déterminée en fonction de t en
même temps que la solution cherchée.
a) Premier type de changement de temps. - Le type le plus simple (mais le moins
utile) de changement de temps consiste à prendre une application T : lR ---> IR, différentiable
de classe Ck, avec k 2: 1, dont la dérivée est partout strictement positive. L'application T
est donc strictement croissante, et c'est un difféomorphisme de lR sur un intervalle ouvert
r(JR). Nous supposerons dans la suite que 0 c r(IR) x E.
Soit
E une solution de l'équation différentielle (18). Puisque T est un
difféomorphisme, J = r- 1 (!) est un intervalle ouvert, et l'application composée
'ljJ =
E est différentiable. Elle a pour dérivée, en un points E J,
'lj/(s) = d~~s) = D
'l/J'(s) = r'(s)f(r(s),'l/;(s)).
(19)
Réciproquement, si 'ljJ : J ---> E est solution de (19),
transformée de (18) par le changement de temps t 1-+ s, ou que (18) est la transformée de
(19) par le changement de temps s 1-+ t.