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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
b) Deuxième type de changement de temps. - En Mécanique céleste, on utilise
souvement des changements de temps un peu plus subtils, pour lesquels la relation qui
permet d'exprimer l'ancien paramètre t en fonction du nouveau s est elle-même solution
d'une équation différentielle. Ce type de changement de temps consiste à prendre une
fonction différentiable() : n - t JR, partout strictement positive, et à imposer à l'ancien
paramètre t, exprimé en fonction du nouveau s, de vérifier, au point ( t, x) de n,
dt
ds = O(t, x).
Cette équation différentielle ne peut pas être traitée isolément, car elle fait intervenir
l'élément x de E. Mais soit cp : I - t E une solution de l'équation (18). Posons
'ljJ ( s) = cp ( t( s)), et calculons sa dérivée. Comme précédemment, nous obtenons
7/J'(s) = ~!J(t(s),'l/;(s)) = O(t(s),'l/;(s))f(t(s),'l/;(s)).
Ainsi, l'application s f--+ ( t( s), 'I/;( s)) est solution de!' équation différentielle, dans lR x E,
{
d~~) = (} ( t ( s) , 'ljJ ( s)) ,
d~~s) = O(t(s),'l/;(s))f(t(s),'l/;(s)).
(20)
Réciproquement, on vérifie aisément que sis f--+ ( t( s), 'ljJ ( s)) est solution de cette équation,
l'application s f--+ t(s) est inversible, et que si nous notons t f--+ s(t) son inverse,
l'application t f--+ cp(t) = 7/J(s(t)) est solution de l'équation différentielle (19).
Le lecteur trouvera un exemple de ce type de changement de temps dans l'exercice IV.3.
6. Exercices
Exercice IV.l. {Intégrale première de l'énergie].
Soit U un ouvert de ]Rn et
V : U - t lR une fonction différentiable de classe C 00 • Soient m 1 , .. ., mn des constantes
strictement positives. On considère l'équation différentielle du second ordre
d 2 xi(t)
âV
mi dt 2 =âxi(x1(t), ... ,xn(t)),
l:'.Si:'.Sn.
1) En posant dx~it) = vi(t), ramener cette équation au premier ordre.
2)0npose,pourtout(x,v) = ((x1,. . .,xn), (v1,. . .,vn)) EU xlRn,
1 n
H(x, v) = 2 L mivf - V(x).
i=l
Montrer que H est une intégrale première de l'équation différentielle considérée.
Exercice IV.2. {Équation de Hamilton]. On convient d'identifier JR 2 n à ]Rn x ]Rn,
et de noter (x, y) = ( (x1, . .. , xn), (yi, ... , Yn)) un point courant de cet espace. Soit U
un ouvert de JR 2 n et H: U - t lR une application de classe C 00 • On considère l'équation
différentielle sur U, appelée équation de Hamilton,
{
dxi(t)
âH
~ = âyi (x(t), y(t)),
(*)
dyi(t) = _ âH ( ( ) ( ))
d
â .xt,yt.
t
xi