§ 6. Exercices
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1) Montrer que H est une intégrale première de cette équation. Montrer que l'équation
différentielle étudiée dans l'exercice précédent peut se mettre sous la forme (*);déterminer
un choix possible pour les variables xi et Yi· et la fonction H correspondantes.
2) À tout couple (!, g) de fonctions différentiables C 00 sur JR 2 n, on associe la fonction,
appelée crochet de Poisson de f et de g et notée {!, g },
{f }(
) =Ln (8f(x, y) 8g(x, y) _ 8J(x, y) 8g(x, y))
'g x, Y
a
a ·
a · a
·
Y .
xi
xi
y·
i=l
i
i
Montre rque la crochet de Poisson vérifie les deux propriétés suivantes :
- il est antisymétrique, {g, J} = -{!, g};
-il vérifie, pour tout triplet(!, g, h) de fonctions C 00 sur JR 2 n, l'identité suivante, appelée
identité de Jacobi,
{f, {g, h}} + {g, { h, J}} + { h, {!, g}} = 0.
3) Anticipant sur les résultats du chapitre suivant, on admettra que pour tout point
(a, b) E U, il existe une solution t ~ ( x( t), y( t)) de léquation de Hamilton ( *) qui prend,
pour un certain élément t0 de son intervalle de définition, la valeur (a, b). Montrer qu'une
fonction différentiable f, de classe C 00 sur U, est une intégrale première de l'équation de
Hamilton (*)si et seulement si { H, J} = O. Montrer aussi que si f et g sont deux intégrales
premières différentiables de classe C 00 de cette équation, leur crochet de Poisson {!, g}
est aussi une intégrale première.
Exercice IV.3. [La régularisation de Levi-Civita du problème de Kepler}. Le
mouvement plan d'un point matériel de masse m > 0, dans un champ attractif newtonien,
est régi par l'équation différentielle du second ordre suivante, appelée équation de Kepler,
définie sur l'ouvert U = JR. 2 - { (0, O)} de JR. 2 ,
d 2 xi ( t)
kmxi ( t)
m dt2 = - llx(t)113 ,
i = 1 ou 2'
où k est une constante strictement positive. Nous avons noté llxll = (xf + x~) 1 1 2 la norme
euclidienne usuelle de JR. 2 .
1) Ramener cette équation au premier ordre en posant vi(t) = dx~y), i = 1 ou 2.
On identifie (x 1 , x2 ) E JR. 2 - {(O, O)} à z = x1 + ix2 E C - {O}; de même, on identifie
(mv1 , mv2 ) E JR. 2 à p = mv1 + imv2 E C; on rappelle que la constante m > 0 est la
masse du point matériel. Écrire l'équation obtenue comme une équation différentielle dans
( C - { 0}) x C. On remarquera que la variable indépendante t étant réelle, les dérivées
qui figurent dans l'équation finalement obtenue sont des JR-dérivées.
2) Montrer que la fonction H, définie sur (C - {O}) x Cet à valeurs réelles,
1
H(z,p) = -pp - km(z-z)- 1 1 2 ,
2m
est une intégrale première de l'équation différentielle obtenue à la question précédente.
On a noté z = x1 - ix2 et p = mv1 - imv2 les complexes conjugués de z et de p,
respectivement.
3) Soit e une constante strictement positive. On considère l'application k de (C- {O}) x C
dans lui-même,
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1) Montrer que H est une intégrale première de cette équation. Montrer que l'équation
différentielle étudiée dans l'exercice précédent peut se mettre sous la forme (*);déterminer
un choix possible pour les variables xi et Yi· et la fonction H correspondantes.
2) À tout couple (!, g) de fonctions différentiables C 00 sur JR 2 n, on associe la fonction,
appelée crochet de Poisson de f et de g et notée {!, g },
{f }(
) =Ln (8f(x, y) 8g(x, y) _ 8J(x, y) 8g(x, y))
'g x, Y
a
a ·
a · a
·
Y .
xi
xi
y·
i=l
i
i
Montre rque la crochet de Poisson vérifie les deux propriétés suivantes :
- il est antisymétrique, {g, J} = -{!, g};
-il vérifie, pour tout triplet(!, g, h) de fonctions C 00 sur JR 2 n, l'identité suivante, appelée
identité de Jacobi,
{f, {g, h}} + {g, { h, J}} + { h, {!, g}} = 0.
3) Anticipant sur les résultats du chapitre suivant, on admettra que pour tout point
(a, b) E U, il existe une solution t ~ ( x( t), y( t)) de léquation de Hamilton ( *) qui prend,
pour un certain élément t0 de son intervalle de définition, la valeur (a, b). Montrer qu'une
fonction différentiable f, de classe C 00 sur U, est une intégrale première de l'équation de
Hamilton (*)si et seulement si { H, J} = O. Montrer aussi que si f et g sont deux intégrales
premières différentiables de classe C 00 de cette équation, leur crochet de Poisson {!, g}
est aussi une intégrale première.
Exercice IV.3. [La régularisation de Levi-Civita du problème de Kepler}. Le
mouvement plan d'un point matériel de masse m > 0, dans un champ attractif newtonien,
est régi par l'équation différentielle du second ordre suivante, appelée équation de Kepler,
définie sur l'ouvert U = JR. 2 - { (0, O)} de JR. 2 ,
d 2 xi ( t)
kmxi ( t)
m dt2 = - llx(t)113 ,
i = 1 ou 2'
où k est une constante strictement positive. Nous avons noté llxll = (xf + x~) 1 1 2 la norme
euclidienne usuelle de JR. 2 .
1) Ramener cette équation au premier ordre en posant vi(t) = dx~y), i = 1 ou 2.
On identifie (x 1 , x2 ) E JR. 2 - {(O, O)} à z = x1 + ix2 E C - {O}; de même, on identifie
(mv1 , mv2 ) E JR. 2 à p = mv1 + imv2 E C; on rappelle que la constante m > 0 est la
masse du point matériel. Écrire l'équation obtenue comme une équation différentielle dans
( C - { 0}) x C. On remarquera que la variable indépendante t étant réelle, les dérivées
qui figurent dans l'équation finalement obtenue sont des JR-dérivées.
2) Montrer que la fonction H, définie sur (C - {O}) x Cet à valeurs réelles,
1
H(z,p) = -pp - km(z-z)- 1 1 2 ,
2m
est une intégrale première de l'équation différentielle obtenue à la question précédente.
On a noté z = x1 - ix2 et p = mv1 - imv2 les complexes conjugués de z et de p,
respectivement.
3) Soit e une constante strictement positive. On considère l'application k de (C- {O}) x C
dans lui-même,