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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
Montrer que c'est un IR-difféomorphisme local (nous voulons dire par là que la structure
d'espace vectoriel de sa structure d'espace vectoriel réel de dimension 4, et non sa structure d'espace vectoriel
complexe de dimension 2). Déterminer l'équation différentielle sur ( en transformant l'équation différentielle trouvée en 1 par le difféomorphisme local k,
comme indiqué paragraphe 5.1.
4) On pose I;e = H- 1 (-e), et Se = k- 1 (I;e)· Déterminer l'équation de Se, et en
déduire sa nature géométrique. Montrer que si une solution t f--t ( Z ( t), W ( t)) de
l'équation différentielle obtenue à la question précédente vérifie, pour un élément ta
particulier de son intervalle de définition, ( Z (ta), W (ta)) E Se, alors cette solution vérifie
( Z(t), W(t)) E Se pour tout élément t de son intervalle de définition.
En déduire que les solutions particulières de l'équation différentielle trouvée en 3 qui
prennent leurs valeurs dans Se sont aussi solutions de l'équation différentielle plus simple,
[
dZ(t) _ ~ {2e
1
W(t)
dt - 4 Y-;; Z(t)Z(t)
'
dW(t) = -~ {2e
1
Z(t)
dt
4 Y-;; Z(t)Z(t)
.
5) On effectue le changement de temps (du type étudié paragraphe 5.4.b),
dt= 4 /m zz.
ds
Y 2e'
Montrer que l'équation différentielle déduite de celle de la question précédente par ce
changement de temps a une forme très simple, qu'elle est définie sur toutes ses solutions.
6) Quelle correspondance existe-t-il entre les solutions de l'équation différentielle de la
question 5, et certaines solutions de l'équation de Kepler (**)?Examiner en particulier à
quoi correspondent les solutions s f--t ( Z ( s), W ( s)) de 1' équation obtenue à la question 5
pour lesquelles Z(s) s'annule pour certaines valeurs de la variable indépendantes.
7. Solutions
Solution IV.l. {Intégrale première de l'énergie}.
1) Ramenée au premier ordre, l'équation différentielle étudiée s'écrit
{
dxi(t) =vi(t),
dt
dvi(t)
-1 àV
- - =m. -(x1(t),. .. ,xn(t)).
dt
' àxi
2) Soit t ,_. ( x(t), v(t)) une solution de l'équation précédente. Nous avons
n
n
d
(
)
L dvi(t) L àV ( ) dxi(t)
- H x(t), v(t) =
mivi(t)-- -
- 8
x(t) - - = 0,
dt
dt
Xi
dt
i=l
i=l
compte tenu de l'équation différentielle elle-même. La fonction H est bien une intégrale première.
Solution IV.2. {Équation de Hamilton].
1) Soit t ,_. ( x( t), y( t)) une solution de l'équation (*).Nous avons
n
.
! H(x(t),y(t)) = L:(:; (x(t),y(t)) dx~;t) + ~~ (x(t),y(t)) dy~;t)).
i=l