§ 7. Solutions
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Compte tenu de l'équation (*),nous obtenons
n
d
)
' °"' ( 8H ( ) 8H
8H
8H
)
dt H(x(t),y(t) = ~ 8xi x(t),y(t) Byi (x(t),y(t)) - Byi (x(t),y(t)) 8xi (x(t),y(t)) =O.
i=l
La fonction H est bien une intégrale première.
L'équation étudiée dans l'exercice précédent peut se mettre sous forme hamiltonienne en posant Yi = mivi et
H(x, y) = (1/2) 2:: 1 Yf /mi - V(x).
2) La propriété d'antisymétrie {g, f} = -{!, g} est immédiatement visible. Pour prouver l'identité de Jacobi
calculons, pour un triplet(!, g, h) de fonctions différentiables sur R 2 n, le terme { f, {g, h} }. C'est la somme,
pour i et k prenant les valeurs 1, 2, ... , n, des termes
Développons, en groupant les termes contenant des dérivées partielles secondes de g et ceux contenant des
dérivées partielles secondes de h. Nous obtenons,
- termes contenant des dérivées partielles secondes de g :
at ah a 2 g
at ah a 2 g
af ah a 2 9
af ah fl2 9
- - - - + - - - - - - - - - - - - - -
8yi 8xk 8xi8yk
8xi 8yk 8yi8xk
8xi 8xk 8yi8Yk
8yi 8yk 8xi8xk ·
- termes contenant des dérivées partielles secondes de h :
a1 ag a 2 h
af ag a 2 h
at a9 a 2 h
af ag a 2 h
- - - - + - - - - - - - - - - - - - -
8yi 8yk 8xi8xk
8xi 8xk 8yi8Yk
âxi 8yk 8yi8xk
8yi 8xk 8xi8yk ·
Nous remarquons que les termes en dérivées partielles secondes par rapport à deux variables x, ainsi que ceux
en dérivées partielles secondes par rapport à deux variables y, apparaissent avec le signe + pour la fonction h
et avec le signe - pour la fonction g. De même, les termes en dérivées partielles secondes par rapport à une
variable x et une variable y apparaissent avec le signe + pour h et avec le signe - pour g.
Pourobtenir les expressions de { g, {h, f} }. puis de { h, {!, g} }. il suffit de permuter circulairement f, g eth.
Ajoutons ces trois expressions, et regardons, par exemple, les termes contenant des dérivées partielles secondes
de f. Les termes contenant des dérivées partielles secondes de f par rapport à deux variables x ou par rapport à
deux variables y apparaissent avec le signe + dans { g, { h, f}} et avec le signe - dans { h, {!, g}}, et ne sont
pas présents dans { f, {g, h}}. Quant aux termes contenant des dérivées partielles secondes de f par rapport
à une variable x et une variable y, ils apparaissent avec le signe - dans { g, { h, f}} et avec le signe +dans
{ h, {!, g}}; ils ne sont pas présents dans { f, {g, h} }.
Compte tenu de ces remarques, de la symétrie des dérivées partielles secondes et du fait que nous devons ajouter
tous les termes obtenus en donnant aux indices i et k toutes les valeurs allant de 1 à n, nous voyons que dans la
somme { f, {g, h}} + { g, { h, f}} + { h, { f, g}}, les termes contenant des dérivées partielles secondes de
f s'éliminent deux par deux. Pour les mêmes raisons, les termes contenant des dérivées partielles secondes de
g, ou de h, s'éliminent aussi. Finalement, l'identité de Jacobi est démontrée.
3) La relation { H, f} = 0 n'est autre que l'équation aux dérivées partielles associée à l'équation différentielle
de Hamilton ( * ), au sens du paragraphe 4.4.a. Puisque nous avons admis que pour tout point de U x Rn, il
existe une solution de l'équation de Hamilton qui passe par ce point, la proposition 4.3 nous permet d'affirmer
qu'une fonction différentiable est intégrale première de l'équation différentielle de Hamilton si et seulement si
elle vérifie {H, f} =O.
Soient f et g deux intégrales premières différentiables del' équation de Hamilton (*).D'après l'identité de Jacobi
et l'antisymétrie du crochet de Poisson, nous avons
{H,{f,g}} = {{H,f},g} + {J,{H,gl} =0,
puisque { H, f} et { H, g} sont nuls. La fonction {!, g} est donc intégrale première de l'équation de Hamilton.
Solution IV.3. {La régularisation de Levi-Civita du problème de Kepler].