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Chapitre IV. Équations différentielles; généralités
1) On obtient immédiatement
{
dxi(t) = v;(t),
dt
dvi(t) _
kxi(t)
---;u- - - llx(t)113 .
i = 1ou2.
(1)
Cette équation est de la forme de l'équation de Hamilton étudiée dans l'exercice précédent, avec Yi = mvi et
1
H(x, y) = - llYll 2 - kmllxll- 1 .
2m
En posant z = x1 + ix2, p = mv1 + imv2, nous pouvons mettre cette équation sous la fonne
dz(t)
_ 1 ( )
- - = m pt,
dt
dp(t)
dt
kmz(t)
- lz(t)l3 .
(2)
2) La fonction H n'est autre que la fonction de Hamilton, notée H(x,y) dans la question précédente, mais
exprimée maintenant au moyen des complexes z et p, puisque llYll 2 =pp et que llxll = lzl = (Z:Z) 1 1 2 . Ainsi
qu'on l'a vu dans l'exercice précédent, c'est une intégrale première de l'équation différentielle considérée.
3) Considérons chaque composante de l'application k. La première, (Z, W) ,_.. z = 2Z 2 , ne dépend pas de
la variable W. Or l'application Z ,_.. z = 2Z 2 est un (>difféomorphisme local de C - {O} sur lui-même,
puisque sa différentielle au point Z E C - {O} est l'application C-linéaire de C dans lui-même X ,_.. 4ZX.
Donc, a fortiori, Z ,_.. z = 2Z 2 est un IR-difféomorphisme local; on voit que chaque point z E C - { 0} a deux
antécédents, les deux déterminations de (z/2) 1 1 2 . Nous pouvons déjà affirmer que la première composante de
l'application k est IR-différentiable de classe C 00 • L'expression de la seconde composante de l'application k,
(Z, W) ,_.. p = v'2riWW (z) -l, au moyen des parties réelles et imaginaires de Z et de W, fait intervenir
des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions polynômiales ou des racines carrées
d'expressions polynômiales strictement positives; de plus, les dénominateurs de ces fractions ne s'annulent
pas. Nous pouvons affinner que la seconde composante de k est IR-différentiable de classe C 00 • Nous avons
prouvé que k est IR-différentiable, de classe C 00 • Pour montrer que c'est un IR-difféomorphisme local, il suffit
de remarquer qu'on peut localement l'inverser, et que son inverse local est IR-différentiable de classe C 00 • Soit
(zo, Po) un point de (C - {O}) x C. Choisissons, au voisinage du point zo de C - {O}, une détermination de
la fonction multivoque z ,_.. (z/2) 1 1 2 . Il lui correspond un inverse local de k, au voisinage de (zo,p0 ), ayant
pour expression
(
( z)l/2
1
-
)
(z,p)1--+ Z= -
, W= ~zl/2p .
2
v4me
Pour les mêmes raisons que ci-dessus, cet inverse local de k est IR-différentiable de classe C 00 . Nous avons ainsi
prouvé que k est un IR-difféomorphisme local, de classe C 00 •
Soit t ,_.. ( Z(t), W(t)) une application différentiable dont la composée avec k est solution de l'équation
différentielle (2). En exprimant que cette équation différentielle est satisfaite, on obtient
dZ(t) = ~ (2; W(t) '
dt
4 V:;;;: Z(t)Z(t)
dW(t)
1 (2; W(t)'W(t) k fm 1
-;tt = 4 V:;;;: Z(t)Z(t) 2 - 4 V 2e Z(t)Z(t) 2 . ( 3 )
C'est la transformée, par le difféomorphisme local k, de l'équation différentielle (2).
4) L'application k est définie sur (C - {O}) x C, et Ho ka pour expression
WW
km
Ho k(Z, W) = e-=- - --=.
ZZ
2ZZ
Nous en déduisons
Hok(Z, W)+e=--= WW+ ZZ- -
.
e ( -
- km)
ZZ
2e
Par suite, Se = (Ho k)- 1 (-e) n'est autre que
Se = { (Z, W) E (C - {O}) x C WW+ZZ= -
.
-
- km}
2e