§ 7. Solutions
111
En identifiant C 2 à IR 4 , et en notant Z1 et W1 les parties réelles, Z2 et W2 les parties imaginaires de Z et de
W, on peut aussi écrire
{
4
2
2
2
2
km
2
2
}
Se= (Z1,Z2,W1,W2) EIR ; Z 1 +Z2 +W1 +W2 = - , Z1 +z 2 =/:-0 .
2e
On voit ainsi que Se est une sphère de dimension 3, centrée sur l'origine de IR 4 , de rayon ( km/(2e)) 112 , privée
d'un grand cercle, l'ensemble des points (Z1, Z2, W1, W2) de cette sphère pour lesquels Z1 = Z2 =O.
Soit t >--> cp(t) = ( Z(t), W(t)) une solution de l'équation différentielle (3), telle que pour un élément t 0 de
son intervalle de définition, on ait cp( to) E Se. On sait alors que k o cp est solution de léquation différentielle
(2), et que H ( k o cp( to)) = -e. Comme H est intégrale première de (2), on a alors, pour tout élément t de
l'intervalle de définition de cp, H ( k o cp( t)) = -e, c'est-à-dire cp( t) E Se.
Pour tout (Z, W) E Se. on a WW = -ZZ - km/(2e). Les solutions cp de l'équation différentielle (3) qui
prennent leurs valeurs dans Se sont aussi solutions de l'équation différentielle, déduite de (3) en remplaçant,
dans la seconde composante de cette équation, WW par -ZZ - km/(2e),
dZ(t) = .!_ fi; 1 W(t) 1
dt
4 V -:;; Z(t)Z(t)
dW(t) = _.!_ fi; 1 Z(t).
dt
4 V -:;; Z(t)Z(t)
5) Effectuer dans ( 4) le changement de temps indiqué revient à écrire
d'où léquation différentielle
dZ
dZ dt
- - - - ,
ds
dt ds
dZ(s) = W(s),
ds
dW
dW dt
- = - - ,
ds
dt ds
dW(s) = -Z(s).
ds
(4)
(5)
On voit immédiatement que cette équation différentielle est définie sur C 2 , alors que léquation ( 4) n'était définie
que sur (C - {O}) x C. C'est une équation linéaire à coefficients constants. L'étude générale des équations de
ce type sera faite au chapitre VII. Mais il est facile de voir que toutes les solutions de cette équation sont de la
forme
Z(s) = aei• + be-i•,
W(s) = iaei• - ibe-i•,
(6)
où a et b sont deux constantes complexes. Nous voyons ainsi que dans C 2 , toutes les solutions de (5), autres que
la solution nulle, sont des cercles, parcourus (en fonction du paramètres) à vitesse constante.
6) Comme nous nous intéressons aux solutions de (2) qui prennent leurs valeurs dans Ee, nous devons considérer
les solutions de (5) qui prennent leurs valeurs dans Se ou, plus exactement, dans l'adhérence de Se, c'est-à-dire
dans la sphère de C 2 (identifié à IR 4 ) centrée sur l'origine et de rayon y'km/(2e). En effet, il n'y a plus lieu
d'imposer à Z d'être non nul, puisque l'équation différentielle (5) est définie sur C 2 . Nous considérons donc les
solutions données par (6), en imposant aux constantes complexes a et b de vérifier la+bl 2 + la-bl 2 = km/ (2e ),
c'est-à-dire (identité du parallélogramme) 2(lal 2 + lbl 2 ) = km/(2e). Toutes ces solutions sont périodiques de
même période 27l' en la variable indépendantes. Parmi ces solutions, celles pour lesquelles Z(s) ne s'annule
jamais sont celles pour lesquelle lal =/:- lbl. Par composition avec le difféomorphisme k, il leur correspond des
solutions périodiques de l'équation (2), de période 7l' en la variable indépendantes, car l'image réciproque de
chaque point de Ee par l'application k est formée de deux points de Se symétriques l'un de l'autre par rappmt à
l'origine. On vérifie aisément que ces solutions sont périodiques aussi lorsqu'elles sont paramétrées part, toutes
de même période, et que les courbes t >--> z ( t) sont des ellipses admettant lorigine pour foyer.
Considérons maintenant une solution de (5), de la forme (6), avec lal = lbl = y'km/(8e). On voit alors que
Z(t) s'annule pour les valeurs des de la forme so + n1l', avec n E Z. En composant avec le difféomorphisme
k la restriction de cette solution à un intervalle de la forme )so + n1l', so + (n + l)7r[, puis en revenant au
paramètre t, on obtient une solution de l'équation (2) dans laquelle le point z(t) parcourt un segment de droite
dont une des extrémités est l'origine; ce segment est parcouru deux fois, le point z(t) partant de l'origine, allant
jusqu'à l'autre extrémité du segment de droite, puis revenant à l'origine. En d'autres termes, le point matériel
dont on étudie le mouvement est expulsé du centre attractif à un certain instant, parcourt un segment de droite,
puis revient au centre attractif, avec lequel il entre en collision au bout d'un temps fini. On peut dire que le
difféomorphisme local k, découvert par Levi-Civita, a pour effet de régulariser les collisions du point matériel
avec le centre attractif.
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En identifiant C 2 à IR 4 , et en notant Z1 et W1 les parties réelles, Z2 et W2 les parties imaginaires de Z et de
W, on peut aussi écrire
{
4
2
2
2
2
km
2
2
}
Se= (Z1,Z2,W1,W2) EIR ; Z 1 +Z2 +W1 +W2 = - , Z1 +z 2 =/:-0 .
2e
On voit ainsi que Se est une sphère de dimension 3, centrée sur l'origine de IR 4 , de rayon ( km/(2e)) 112 , privée
d'un grand cercle, l'ensemble des points (Z1, Z2, W1, W2) de cette sphère pour lesquels Z1 = Z2 =O.
Soit t >--> cp(t) = ( Z(t), W(t)) une solution de l'équation différentielle (3), telle que pour un élément t 0 de
son intervalle de définition, on ait cp( to) E Se. On sait alors que k o cp est solution de léquation différentielle
(2), et que H ( k o cp( to)) = -e. Comme H est intégrale première de (2), on a alors, pour tout élément t de
l'intervalle de définition de cp, H ( k o cp( t)) = -e, c'est-à-dire cp( t) E Se.
Pour tout (Z, W) E Se. on a WW = -ZZ - km/(2e). Les solutions cp de l'équation différentielle (3) qui
prennent leurs valeurs dans Se sont aussi solutions de l'équation différentielle, déduite de (3) en remplaçant,
dans la seconde composante de cette équation, WW par -ZZ - km/(2e),
dZ(t) = .!_ fi; 1 W(t) 1
dt
4 V -:;; Z(t)Z(t)
dW(t) = _.!_ fi; 1 Z(t).
dt
4 V -:;; Z(t)Z(t)
5) Effectuer dans ( 4) le changement de temps indiqué revient à écrire
d'où léquation différentielle
dZ
dZ dt
- - - - ,
ds
dt ds
dZ(s) = W(s),
ds
dW
dW dt
- = - - ,
ds
dt ds
dW(s) = -Z(s).
ds
(4)
(5)
On voit immédiatement que cette équation différentielle est définie sur C 2 , alors que léquation ( 4) n'était définie
que sur (C - {O}) x C. C'est une équation linéaire à coefficients constants. L'étude générale des équations de
ce type sera faite au chapitre VII. Mais il est facile de voir que toutes les solutions de cette équation sont de la
forme
Z(s) = aei• + be-i•,
W(s) = iaei• - ibe-i•,
(6)
où a et b sont deux constantes complexes. Nous voyons ainsi que dans C 2 , toutes les solutions de (5), autres que
la solution nulle, sont des cercles, parcourus (en fonction du paramètres) à vitesse constante.
6) Comme nous nous intéressons aux solutions de (2) qui prennent leurs valeurs dans Ee, nous devons considérer
les solutions de (5) qui prennent leurs valeurs dans Se ou, plus exactement, dans l'adhérence de Se, c'est-à-dire
dans la sphère de C 2 (identifié à IR 4 ) centrée sur l'origine et de rayon y'km/(2e). En effet, il n'y a plus lieu
d'imposer à Z d'être non nul, puisque l'équation différentielle (5) est définie sur C 2 . Nous considérons donc les
solutions données par (6), en imposant aux constantes complexes a et b de vérifier la+bl 2 + la-bl 2 = km/ (2e ),
c'est-à-dire (identité du parallélogramme) 2(lal 2 + lbl 2 ) = km/(2e). Toutes ces solutions sont périodiques de
même période 27l' en la variable indépendantes. Parmi ces solutions, celles pour lesquelles Z(s) ne s'annule
jamais sont celles pour lesquelle lal =/:- lbl. Par composition avec le difféomorphisme k, il leur correspond des
solutions périodiques de l'équation (2), de période 7l' en la variable indépendantes, car l'image réciproque de
chaque point de Ee par l'application k est formée de deux points de Se symétriques l'un de l'autre par rappmt à
l'origine. On vérifie aisément que ces solutions sont périodiques aussi lorsqu'elles sont paramétrées part, toutes
de même période, et que les courbes t >--> z ( t) sont des ellipses admettant lorigine pour foyer.
Considérons maintenant une solution de (5), de la forme (6), avec lal = lbl = y'km/(8e). On voit alors que
Z(t) s'annule pour les valeurs des de la forme so + n1l', avec n E Z. En composant avec le difféomorphisme
k la restriction de cette solution à un intervalle de la forme )so + n1l', so + (n + l)7r[, puis en revenant au
paramètre t, on obtient une solution de l'équation (2) dans laquelle le point z(t) parcourt un segment de droite
dont une des extrémités est l'origine; ce segment est parcouru deux fois, le point z(t) partant de l'origine, allant
jusqu'à l'autre extrémité du segment de droite, puis revenant à l'origine. En d'autres termes, le point matériel
dont on étudie le mouvement est expulsé du centre attractif à un certain instant, parcourt un segment de droite,
puis revient au centre attractif, avec lequel il entre en collision au bout d'un temps fini. On peut dire que le
difféomorphisme local k, découvert par Levi-Civita, a pour effet de régulariser les collisions du point matériel
avec le centre attractif.