Chapitre V
Équations différentielles; le problème de Cauchy
Nous allons voir, dans le présent chapitre, que moyennant certaines hypothèses de
régularité, une équation différentielle admet en général une infinité de solutions. Pour
sélectionner l'une de ces solutions, on peut lui imposer de prendre une valeur spécifiée x0 ,
pour une valeur spécifiée t0 de la variable indépendante t. Le couple (t0 , x0 ) constitue une
donnée de Cauchy. La recherche d'une solution vérifiant une donnée de Cauchy spécifiée
constitue le problème de Cauchy. La solution du problème de Cauchy, lorsqu'elle existe,
n'est pas unique car en restreignant l'intervalle sur lequel elle est définie (tout en imposant
à cet intervalle de contenir le réel t0 faisant partie de la donnée de Cauchy), on obtient une
autre solution, qui bien sûr ne donne aucune information supplémentaire. C'est pourquoi
nous nous intéresserons plus particulièrement aux solutions dites maximales, qui ne sont
pas restriction d'une autre solution définie sur un intervalle strictement plus grand. Nous
verrons alors que moyennant des hypothèses de régularité souvent satisfaites dans les
applications, le problème de Cauchy admet, pour toute donnée de Cauchy, une unique
solution maximale (théorème 2.10, forme globale du théorème de Cauchy-Lipschitz). Sous
des hypothèses différentes (un peu moins restrictives du point de vue de la régularité, mais
en supposant l'espace considéré de dimension finie), nous établirons un autre théorème
(théorème de Peano 3.4), affirmant, pour toute donnée de Cauchy, l'existence d'une
solution maximale du problème de Cauchy, mais non son unicité. L'étude des bouts d'une
solution maximale, dans le dernier paragraphe, permettra de mieux comprendre les raisons
pour lesquelles les solutions maximales d'une équation différentielle ne sont pas toujours
définies sur IR entier.
1. Solutions maximales, unicité locale et unicité globale
Soit E un espace vectoriel normé réel et f une application d'une partie n de IR x E dans
E. On considère l'équation différentielle
ip'(t) = f(t, ip(t)).
(1)
1.1. Définition. - Une solution 'P : 1 --t E de l'équation différentielle (1) est dite
maximale si toute solution de (1) dont l'intervalle de définition contient 1 et dont
la restriction à 1 coïncide avec cp est égale à cp.
1.2. Remarque. - La restriction cp1 d'une solution cp : 1 --t Ede l'équation (1) à
un sous-intervalle ouvert 11 de I est évidemment aussi solution de cette équation. D'une
manière générale, nous dirons qu'une solution cp : I --t Ede l'équation (1) prolonge
une autre solution cp1 : li --t E si li C I et si cp1 = cp 1 11 . Il est facile de vérifier
que la relation ainsi définie est une relation d'ordre sur l'ensemble des solutions de ( 1).
Les éléments maximaux de cet ensemble, pour cette relation d'ordre, sont les solutions
maximales définies en 1.1.
Équations différentielles; le problème de Cauchy
Nous allons voir, dans le présent chapitre, que moyennant certaines hypothèses de
régularité, une équation différentielle admet en général une infinité de solutions. Pour
sélectionner l'une de ces solutions, on peut lui imposer de prendre une valeur spécifiée x0 ,
pour une valeur spécifiée t0 de la variable indépendante t. Le couple (t0 , x0 ) constitue une
donnée de Cauchy. La recherche d'une solution vérifiant une donnée de Cauchy spécifiée
constitue le problème de Cauchy. La solution du problème de Cauchy, lorsqu'elle existe,
n'est pas unique car en restreignant l'intervalle sur lequel elle est définie (tout en imposant
à cet intervalle de contenir le réel t0 faisant partie de la donnée de Cauchy), on obtient une
autre solution, qui bien sûr ne donne aucune information supplémentaire. C'est pourquoi
nous nous intéresserons plus particulièrement aux solutions dites maximales, qui ne sont
pas restriction d'une autre solution définie sur un intervalle strictement plus grand. Nous
verrons alors que moyennant des hypothèses de régularité souvent satisfaites dans les
applications, le problème de Cauchy admet, pour toute donnée de Cauchy, une unique
solution maximale (théorème 2.10, forme globale du théorème de Cauchy-Lipschitz). Sous
des hypothèses différentes (un peu moins restrictives du point de vue de la régularité, mais
en supposant l'espace considéré de dimension finie), nous établirons un autre théorème
(théorème de Peano 3.4), affirmant, pour toute donnée de Cauchy, l'existence d'une
solution maximale du problème de Cauchy, mais non son unicité. L'étude des bouts d'une
solution maximale, dans le dernier paragraphe, permettra de mieux comprendre les raisons
pour lesquelles les solutions maximales d'une équation différentielle ne sont pas toujours
définies sur IR entier.
1. Solutions maximales, unicité locale et unicité globale
Soit E un espace vectoriel normé réel et f une application d'une partie n de IR x E dans
E. On considère l'équation différentielle
ip'(t) = f(t, ip(t)).
(1)
1.1. Définition. - Une solution 'P : 1 --t E de l'équation différentielle (1) est dite
maximale si toute solution de (1) dont l'intervalle de définition contient 1 et dont
la restriction à 1 coïncide avec cp est égale à cp.
1.2. Remarque. - La restriction cp1 d'une solution cp : 1 --t Ede l'équation (1) à
un sous-intervalle ouvert 11 de I est évidemment aussi solution de cette équation. D'une
manière générale, nous dirons qu'une solution cp : I --t Ede l'équation (1) prolonge
une autre solution cp1 : li --t E si li C I et si cp1 = cp 1 11 . Il est facile de vérifier
que la relation ainsi définie est une relation d'ordre sur l'ensemble des solutions de ( 1).
Les éléments maximaux de cet ensemble, pour cette relation d'ordre, sont les solutions
maximales définies en 1.1.