§ 1. Solutions maximales, unicité locale et unicité globale
113
1.3. Proposition. -
Toute solution de l'équation différentielle (1) est restriction
d'une solution maximale à un sous-intervalle.
Preuve : Soit rp : I - t E une solution de l'équation différentielle ( 1). Soit E l'ensemble des
solutions de (1) qui prolongent la solution rp. L'ensemble E est non vide, puisqu'il contient
r.p. Il est muni d'une relation d'ordre, la relation "la solution ' tf;1 prolonge la solution 'lj;2".
Soit P = { 't/Ja : la - t E ; a E A} une partie non vide totalement ordonnée de f. Nous
avons noté A un ensemble d'indices. Posons l = UaEA la. La partiel de lR est ouverte,
puisque réunion des ouverts la. Montrons que c'est un intervalle, c'est-à-dire que si t 1 et
t2 sont deux éléments del, tout réel t compris entre t1 et t2 est aussi élément del. Puisque
t1 E l, il existe a 1 E A tel que t1 E la 1 • De même, il existe a 2 E A tel que t2 E la 2 •
L'ensemble Pétant totalement ordonné, des deux solutions de (1), 't/Ja 1 : la 1 - t E et
't/Ja 2 : la 2 - t E, l'une prolonge l'autre; supposons par exemple que 'lj;1 prolonge ' tf;2 . Mais
alors Ja 1 ~ Ja 2 , donc t 1 et t2 sont deux éléments de l'intervalle la 1 , contenu dans l, de
sorte que tout réel t compris entre t1 et t2 est élément de la 1 , donc del. Nous avons ainsi
prouvé que J est un intervalle ouvert de R
Pour tout t E l, posons
'tf;(t) = 't/Ja(t) si t Ela.
Cela définit effectivement une application 'if; : l - t E, car pour tout t E J, il existe au
moins un a E A tel que t E la; d'autre part, si a 1 et a2 sont deux éléments de A tels
que t E la 1 n la 2 , alors 't/Ja 1 (t) = 't/Ja 2 (t), puisque l'une des deux solutions 't/Ja 1 ou 't/Ja 2
prolonge l'autre.
L'application 'if; : l - t E est différentiable et c'est une solution de l'équation (1) qui
prolonge chacune des solutions 't/Jw a E A. En effet, la différentiabilité est une propriété
locale, et la restriction de 'if; à chaque intervalle ouvert la. a E A, est différentiable et
solution de (1). Nous avons donc prouvé que 'if;: l - t E est un élément de E qui majore
la partie totalement ordonnée P de f. En d'autres termes, nous avons prouvé que l'ordre
dont est muni l'ensemble E est inductif. Le lemme de Zorn (voir par exemple [T.0.2.11])
nous permet d'affirmer l'existence d'un élément maximal de f, c'est-à-dire d'une solution
maximale de 1' équation différentielle ( 1) dont la solution r.p est une restriction.
D
1.4. Définitions. - Une donnée de Cauchy pour l'équation différentielle (1) est un
point (t0 , x0 ) de la partie n de lR x E sur laquelle est défi.nie cette équation. On
dit qu'une solution r.p: I - t Ede l'équation (1) satisfait la donnée de Cauchy (to, xo)
si to E I et r.p(to) = xo.
On appelle problème de Cauchy la recherche d'une solution de l'équation (1)
satisfaisant une donnée de Cauchy spécifiée (t0 , xo).
1.5. Remarque. - Dans la définition ci-dessus, si une telle solution existe, elle est, d'après
la proposition 1.3, restriction d'une solution maximale, qui satisfait la même donnée de
Cauchy.
1.6. Définition. - Un élément (to, xo) de n est dit point d'unicité globale pour le
problème de Cauchy s'il existe au plus une solution maximale de (1) qui satisfait la
donnée de Cauchy (t0 , x 0 ). Le point (t0 , x 0 ) est dit point d'unicité locale s'il possède
un voisinage V dans lR x E tel que ce point soit point d'unicité globale pour le
problème de Cauchy relatif à la restriction de l'équation (1) à V n n.
1.7. Lemme. -
Soient r.p : I - t E et 'if; : l - t E deux solutions maximales
distinctes de l'équation différentielle (1), telles que InJ i' 0. Alors les restrictions
de r.p et de 'if; à I n l sont distinctes.
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1.3. Proposition. -
Toute solution de l'équation différentielle (1) est restriction
d'une solution maximale à un sous-intervalle.
Preuve : Soit rp : I - t E une solution de l'équation différentielle ( 1). Soit E l'ensemble des
solutions de (1) qui prolongent la solution rp. L'ensemble E est non vide, puisqu'il contient
r.p. Il est muni d'une relation d'ordre, la relation "la solution ' tf;1 prolonge la solution 'lj;2".
Soit P = { 't/Ja : la - t E ; a E A} une partie non vide totalement ordonnée de f. Nous
avons noté A un ensemble d'indices. Posons l = UaEA la. La partiel de lR est ouverte,
puisque réunion des ouverts la. Montrons que c'est un intervalle, c'est-à-dire que si t 1 et
t2 sont deux éléments del, tout réel t compris entre t1 et t2 est aussi élément del. Puisque
t1 E l, il existe a 1 E A tel que t1 E la 1 • De même, il existe a 2 E A tel que t2 E la 2 •
L'ensemble Pétant totalement ordonné, des deux solutions de (1), 't/Ja 1 : la 1 - t E et
't/Ja 2 : la 2 - t E, l'une prolonge l'autre; supposons par exemple que 'lj;1 prolonge ' tf;2 . Mais
alors Ja 1 ~ Ja 2 , donc t 1 et t2 sont deux éléments de l'intervalle la 1 , contenu dans l, de
sorte que tout réel t compris entre t1 et t2 est élément de la 1 , donc del. Nous avons ainsi
prouvé que J est un intervalle ouvert de R
Pour tout t E l, posons
'tf;(t) = 't/Ja(t) si t Ela.
Cela définit effectivement une application 'if; : l - t E, car pour tout t E J, il existe au
moins un a E A tel que t E la; d'autre part, si a 1 et a2 sont deux éléments de A tels
que t E la 1 n la 2 , alors 't/Ja 1 (t) = 't/Ja 2 (t), puisque l'une des deux solutions 't/Ja 1 ou 't/Ja 2
prolonge l'autre.
L'application 'if; : l - t E est différentiable et c'est une solution de l'équation (1) qui
prolonge chacune des solutions 't/Jw a E A. En effet, la différentiabilité est une propriété
locale, et la restriction de 'if; à chaque intervalle ouvert la. a E A, est différentiable et
solution de (1). Nous avons donc prouvé que 'if;: l - t E est un élément de E qui majore
la partie totalement ordonnée P de f. En d'autres termes, nous avons prouvé que l'ordre
dont est muni l'ensemble E est inductif. Le lemme de Zorn (voir par exemple [T.0.2.11])
nous permet d'affirmer l'existence d'un élément maximal de f, c'est-à-dire d'une solution
maximale de 1' équation différentielle ( 1) dont la solution r.p est une restriction.
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1.4. Définitions. - Une donnée de Cauchy pour l'équation différentielle (1) est un
point (t0 , x0 ) de la partie n de lR x E sur laquelle est défi.nie cette équation. On
dit qu'une solution r.p: I - t Ede l'équation (1) satisfait la donnée de Cauchy (to, xo)
si to E I et r.p(to) = xo.
On appelle problème de Cauchy la recherche d'une solution de l'équation (1)
satisfaisant une donnée de Cauchy spécifiée (t0 , xo).
1.5. Remarque. - Dans la définition ci-dessus, si une telle solution existe, elle est, d'après
la proposition 1.3, restriction d'une solution maximale, qui satisfait la même donnée de
Cauchy.
1.6. Définition. - Un élément (to, xo) de n est dit point d'unicité globale pour le
problème de Cauchy s'il existe au plus une solution maximale de (1) qui satisfait la
donnée de Cauchy (t0 , x 0 ). Le point (t0 , x 0 ) est dit point d'unicité locale s'il possède
un voisinage V dans lR x E tel que ce point soit point d'unicité globale pour le
problème de Cauchy relatif à la restriction de l'équation (1) à V n n.
1.7. Lemme. -
Soient r.p : I - t E et 'if; : l - t E deux solutions maximales
distinctes de l'équation différentielle (1), telles que InJ i' 0. Alors les restrictions
de r.p et de 'if; à I n l sont distinctes.