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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Preuve : Supposons les restrictions de

réunion I U J est un intervalle ouvert de R
Les deux inclusions I C I U Jet J C I U J sont strictes; en effet, si par exemple nous
avions I = I U J, nous aurions J c I; la solution ' ljJ : J --> E, distincte de

E
par hypothèse, ne serait pas maximale puisque

Posons, pour tout t E I U J,
{ 1n(t) si t E I,
x(t) = r
'ljJ(t) si t E J, t ~ I.
Remarquons que pour tout t E J, x(t) = 7/J(t), car si t E In J, nous avons par hypothèse
une solution de ( 1) qui prolonge strictement à la fois

de ces solutions.
D
1.8. Proposition. -
Soit

E une solution maximale de l'équation
différentielle (1). Si pour tout t E I, (t, problème de Cauchy, alors pour tout t E I, ( t, globale pour ce problème.
Preuve: Supposons qu'il existe t0 E I tel que ( t0 , x0 = globale.Ilexistealorsunesolutionmaximale'ljJ: J--> Ede l'équation (1), vérifiantt0 E J
et 7/J(to) = de Nécessairement, t 1 -1- t0 puisque 7jJ(t0 ) = t 0 (le
raisonnement serait analogue si t1 < t0), et posons
tM = sup{ t E In J ; t ~ to, \;/() E [t0 , t], 'ljJ(O) = Nous pouvons affirmer que tM existe, car c'est la borne supérieure d'une partie de IR non
vide (elle contient t0 ) et majorée par t 1 . De plus, t0 ~ tM < t 1, donc tM E In J. Les
applications même de tM, pour tout€> 0, il existe t E ]tM, tM + ê[nI n J tel que 7/J(t) -1- suite, ( tM, D
1.9. Corollaire. -
Si tout élément (t, x) den est point d'unicité locale pour le
problème de Cauchy, tout élément (t, x) den est aussi point d'unicité globale pour
ce problème.
Preuve: Soit (t0 , x 0 ) E n une donnée de Cauchy. S'il n'existe pas de solution maximale
de (1) satisfaisant cette donnée, (t0 , x0 ) est trivialement un point d'unicité globale. S'il
existe une solution maximale E telle que t0 E I et montre que c'est l'unique solution maximale de (1) satisfaisant la donnée de Cauchy
(t0 , x 0 ). Ainsi, dans tous les cas, (t0 , x0 ) est point d'unicité globale.
D
2. Solution du problème de Cauchy : cas lipschitzien
On considère toujours l'équation différentielle (1).
2.1. Définition. - Soit (t0 , x 0 ) E n. On appelle tonneau de sécurité ouvert (resp.,
fermé) de centre (t0 , x0 ) une partie de IR x E de la forme Io x B0 , où Io est un
intervalle ouvert (resp., fermé) de centre t0 , de longueur 2l > 0, et B 0 une boule
ouverte (resp., fermée) de centre x0 , de rayon r > 0, telle que
r
Io x Bo C f2 et
sup
llf(t,x)ll < -l ·
(t,x}Elo x Bo