§ 2. Solution du problème de Cauchy: cas lipschitzien
115
2.2. Remarques
a) Cas où f est localement bornée. - Si f est localement bornée sur n, et en particulier
si f est continue sur n, tout point intérieur à n est centre d'un tonneau de sécurité. Soit
0
en effet ( t0 , x0 ) E n. Puisque f est localement bornée, il existe un voisinage W de
(t0 , x 0 ) dans n sur lequel f est bornée; il existe donc un réel M > 0 tel que, pour tout
(t,x) E W, jjJ(t,x)jj < M.Puisque(t0 ,x0 )estintérieuràD, Westvoisinagede(t0 ,x0 )
dans lR x E. L'ensemble des parties de lR x Ede la forme [t0 - l, t0 + l] x BF(x0 , lM),
avec l > 0, est un système fondamental de voisinages de (t0 , x 0 ) dans E (nous avons
noté Bp(x0 , lM) la boule fermée de E, de centre x0 et de rayon lM > 0). Pour l > 0
assez petit, nous avons donc [to - l, t0 + l] x Bp(x0 , lM) c W, et nous voyons que
[to - l, to + l] x Bp(xo, lM) est un tonneau de sécurité fermé centré sur le point (t0 , x 0 ).
Bien entendu, ]to - l, t0 + l[xB(x0 , lM), où B(x0 , lM) désigne la boule ouverte de E
de centre x0 et de rayon lM, est un tonneau de sécurité ouvert de centre (t0 , x0 ).
b) Homothétique d'un tonneau de sécurité. - Soit Io x Bo un tonneau de sécurité (par
exemple fermé) de centre (to, xo); on a Io= [to - l, to + l], Bo= Bp(xo, r), avec l > 0,
r > O. Tout point (ti, xi) de D intérieur à Io x Bo, c'est-à-dire vérifiant lti - toi < l
et llxi - xo Il < r, est aussi centre d'un tonneau de sécurité li x Bi. Il suffit de prendre
li= [ti -li,ti +li] x Bp(xi,ri),enchoisissantli et ri vérifiant
ri
r
li l' O
sup
l!J(t,x)lj::;
sup
lif(t,x)ji
(t,x)E/oxBo
i
Cette remarque sera souvent utilisée dans la suite.
c) Intérêt des tonneaux de sécurité. - Soit cp : I ----+ E une solution de l'équation
différentielle (1) satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 ,x0 ). L'existence d'un tonneau de
sécurité I0 x Bo de centre (t0 , x 0 ) E E permet de montrer que Je graphe de la restriction
de cp à In Io est contenu dans ce tonneau de sécurité. C'est ce qui résulte du lemme suivant,
et c'est là le principal intérêt de la notion de tonneau de sécurité.
2.3. Lemme. -
Soit cp : I ----+ E une solution de l'équation différentielle (1)
satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). S'il existe un tonneau de sécurité Io x Bo
de centre (t0 , x 0 ), la solution cp vérifie, pour tout t E In I0 ,
licp(t) - cp(to)ll < r,
où r > 0 est le rayon de la boule B 0 . Cela exprime que le graphe de la restriction
de cp à In I0 est contenu dans Io x B0 .
Preuve: Soit 2l > 0 la longueur de l'intervalle I0 . D'après la définition d'un tonneau de
sécurité, nous avons
r
sup
llJ(t,x)ll = M
Supposons qu'il existe ti E In Io tel que licp(t) - cp(t0 ) 11 2: r. Nécessairement, ti -1- to;
supposons par exemple ti > to. Posons
tM = sup{ t E In Io ; t 2: to, W E [to, t], llcp(B) - cp(to)li < r}.
Le réel tM existe, car c'est la borne supérieure d'une partie de lR non vide (elle contient t0 )
et majorée parti. Il appartient à l'intervalle [t0 , ti], donc à In I 0 . Puisque cp est continue,
nous avons
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2.2. Remarques
a) Cas où f est localement bornée. - Si f est localement bornée sur n, et en particulier
si f est continue sur n, tout point intérieur à n est centre d'un tonneau de sécurité. Soit
0
en effet ( t0 , x0 ) E n. Puisque f est localement bornée, il existe un voisinage W de
(t0 , x 0 ) dans n sur lequel f est bornée; il existe donc un réel M > 0 tel que, pour tout
(t,x) E W, jjJ(t,x)jj < M.Puisque(t0 ,x0 )estintérieuràD, Westvoisinagede(t0 ,x0 )
dans lR x E. L'ensemble des parties de lR x Ede la forme [t0 - l, t0 + l] x BF(x0 , lM),
avec l > 0, est un système fondamental de voisinages de (t0 , x 0 ) dans E (nous avons
noté Bp(x0 , lM) la boule fermée de E, de centre x0 et de rayon lM > 0). Pour l > 0
assez petit, nous avons donc [to - l, t0 + l] x Bp(x0 , lM) c W, et nous voyons que
[to - l, to + l] x Bp(xo, lM) est un tonneau de sécurité fermé centré sur le point (t0 , x 0 ).
Bien entendu, ]to - l, t0 + l[xB(x0 , lM), où B(x0 , lM) désigne la boule ouverte de E
de centre x0 et de rayon lM, est un tonneau de sécurité ouvert de centre (t0 , x0 ).
b) Homothétique d'un tonneau de sécurité. - Soit Io x Bo un tonneau de sécurité (par
exemple fermé) de centre (to, xo); on a Io= [to - l, to + l], Bo= Bp(xo, r), avec l > 0,
r > O. Tout point (ti, xi) de D intérieur à Io x Bo, c'est-à-dire vérifiant lti - toi < l
et llxi - xo Il < r, est aussi centre d'un tonneau de sécurité li x Bi. Il suffit de prendre
li= [ti -li,ti +li] x Bp(xi,ri),enchoisissantli et ri vérifiant
ri
r
li l' O
sup
l!J(t,x)lj::;
sup
lif(t,x)ji
(t,x)E/oxBo
i
Cette remarque sera souvent utilisée dans la suite.
c) Intérêt des tonneaux de sécurité. - Soit cp : I ----+ E une solution de l'équation
différentielle (1) satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 ,x0 ). L'existence d'un tonneau de
sécurité I0 x Bo de centre (t0 , x 0 ) E E permet de montrer que Je graphe de la restriction
de cp à In Io est contenu dans ce tonneau de sécurité. C'est ce qui résulte du lemme suivant,
et c'est là le principal intérêt de la notion de tonneau de sécurité.
2.3. Lemme. -
Soit cp : I ----+ E une solution de l'équation différentielle (1)
satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). S'il existe un tonneau de sécurité Io x Bo
de centre (t0 , x 0 ), la solution cp vérifie, pour tout t E In I0 ,
licp(t) - cp(to)ll < r,
où r > 0 est le rayon de la boule B 0 . Cela exprime que le graphe de la restriction
de cp à In I0 est contenu dans Io x B0 .
Preuve: Soit 2l > 0 la longueur de l'intervalle I0 . D'après la définition d'un tonneau de
sécurité, nous avons
r
sup
llJ(t,x)ll = M
Supposons qu'il existe ti E In Io tel que licp(t) - cp(t0 ) 11 2: r. Nécessairement, ti -1- to;
supposons par exemple ti > to. Posons
tM = sup{ t E In Io ; t 2: to, W E [to, t], llcp(B) - cp(to)li < r}.
Le réel tM existe, car c'est la borne supérieure d'une partie de lR non vide (elle contient t0 )
et majorée parti. Il appartient à l'intervalle [t0 , ti], donc à In I 0 . Puisque cp est continue,
nous avons