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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
D'autre part, d'après la définition même de tM, pour tout t E [t0 , tM[. ( t, cp(t)) est élément
de 10 x B 0 , donc
llcp'(t)li = llJ(t,cp(t))ll s; M
llcp(tM) - cp(to) Il s; MltM - toi s; Ml < r,
ce qui contredit ( *).
0
2.4. Intégration de fonctions vectorielles. - Le lecteur est sans doute familiarisé avec
) 'intégrale de Riemann d'une fonction continue, définie sur un intervalle de lR et à valeurs
réelles. Nous allons avoir besoin de quelques résultats portant sur l'intégrale de Riemann
d'une fonction prenant ses valeurs dans un espace de Banach réel, et non plus dans R
Lorsque l'espace dans lequel la fonction considérée prend ses valeurs est de dimension
finie, le choix d'une base de cet espace permet de calculer son intégrale composante
par composante, en n'utilisant que la théorie de l'intégrale de fonctions à valeurs réelles.
Mais certaines inégalités vérifiées par l'intégrale (par exemple l'inégalité 2.4.d ci-dessous)
s'obtiennent beaucoup plus aisément en développant directement une théorie de l'intégrale
de Riemann des fonctions à valeurs dans un espace de Banach. Cette théorie est d'autre
part indispensable lorsque l'espace dans lequel les fonctions prennent leurs valeurs n'est
pas de dimension finie. Nous en indiquons très brièvement ci-dessous les grandes lignes
et les principaux résultats.
Dans toute la suite de ce paragraphe, f désigne une application continue d'un intervalle I
de lR dans un espace de Banach E.
a) Définition de l'intégrale. - Soient a et b deux points de I, vérifiant a s; b. Pour
définir l'intégrale de f sur l'intervalle [a, b], on introduit d'abord la notion de subdivison
de cet intervalle et de somme de Cauchy-Riemann associée à une subdivision.
Une subdivision de [a, b] est une suite finie a = (x0 , x 1 , ... , xn) de points de cet intervalle
vérifiant x 0 =as; x 1 s; · · · s; Xn = b. On appelle.finesse de la subdivision a le réel
ry(a) = sup lxi+l - xil.
O:Si:Sn-1
Soit a = (x0 , x 1 , ... , Xn) une subdivision de [a, b]. Pour chaque i E { 0, 1, ... , n - 1 },
soit Yi un élément de f([xi,XH1J). On appelle somme de Cauchy-Riemann de f sur
l'intervalle [a, b], pour la subdivision a le choix spécifié des Yi·
n-l
su, a, (yi)) = I)xi+l - xi)yi.
i=O
En utilisant le critère de Cauchy et la continuité uniforme de f sur l'intervalle compact
[a, b], on montre (voir par exemple [12]) que les sommes de Cauchy-Riemann de f sur
l'intervalle [a, b] associées à toutes les subdivisions possibles de cet intervalle, et à tous les
choix possibles des Yi· convergent, lorsque la finesse des subdivisons considérées tend vers
0, vers un élément l de E. De manière précise, cela signifie que pour tout ê > 0, il existe
1/ > 0 telle que pour toute subdivision a = ( x0 , ... , xn) de [a, b] de finesse ry( a) s; ry, et
tout choix des Yi E f ([xi, XH1J), on ait
llS(f, a, (Yi)) - lll s; ê.
Cet élément l de E est appelé intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a, b], et noté
1: J(t) dt.
Si a = b, l'intégrale de f sur [a, b] est nulle.
Si f est constante sur [a, b], et a sur cet intervalle pour valeur Ç E E, son intégrale sur
[a, b] est (b - a)Ç.
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
D'autre part, d'après la définition même de tM, pour tout t E [t0 , tM[. ( t, cp(t)) est élément
de 10 x B 0 , donc
llcp'(t)li = llJ(t,cp(t))ll s; M
llcp(tM) - cp(to) Il s; MltM - toi s; Ml < r,
ce qui contredit ( *).
0
2.4. Intégration de fonctions vectorielles. - Le lecteur est sans doute familiarisé avec
) 'intégrale de Riemann d'une fonction continue, définie sur un intervalle de lR et à valeurs
réelles. Nous allons avoir besoin de quelques résultats portant sur l'intégrale de Riemann
d'une fonction prenant ses valeurs dans un espace de Banach réel, et non plus dans R
Lorsque l'espace dans lequel la fonction considérée prend ses valeurs est de dimension
finie, le choix d'une base de cet espace permet de calculer son intégrale composante
par composante, en n'utilisant que la théorie de l'intégrale de fonctions à valeurs réelles.
Mais certaines inégalités vérifiées par l'intégrale (par exemple l'inégalité 2.4.d ci-dessous)
s'obtiennent beaucoup plus aisément en développant directement une théorie de l'intégrale
de Riemann des fonctions à valeurs dans un espace de Banach. Cette théorie est d'autre
part indispensable lorsque l'espace dans lequel les fonctions prennent leurs valeurs n'est
pas de dimension finie. Nous en indiquons très brièvement ci-dessous les grandes lignes
et les principaux résultats.
Dans toute la suite de ce paragraphe, f désigne une application continue d'un intervalle I
de lR dans un espace de Banach E.
a) Définition de l'intégrale. - Soient a et b deux points de I, vérifiant a s; b. Pour
définir l'intégrale de f sur l'intervalle [a, b], on introduit d'abord la notion de subdivison
de cet intervalle et de somme de Cauchy-Riemann associée à une subdivision.
Une subdivision de [a, b] est une suite finie a = (x0 , x 1 , ... , xn) de points de cet intervalle
vérifiant x 0 =as; x 1 s; · · · s; Xn = b. On appelle.finesse de la subdivision a le réel
ry(a) = sup lxi+l - xil.
O:Si:Sn-1
Soit a = (x0 , x 1 , ... , Xn) une subdivision de [a, b]. Pour chaque i E { 0, 1, ... , n - 1 },
soit Yi un élément de f([xi,XH1J). On appelle somme de Cauchy-Riemann de f sur
l'intervalle [a, b], pour la subdivision a le choix spécifié des Yi·
n-l
su, a, (yi)) = I)xi+l - xi)yi.
i=O
En utilisant le critère de Cauchy et la continuité uniforme de f sur l'intervalle compact
[a, b], on montre (voir par exemple [12]) que les sommes de Cauchy-Riemann de f sur
l'intervalle [a, b] associées à toutes les subdivisions possibles de cet intervalle, et à tous les
choix possibles des Yi· convergent, lorsque la finesse des subdivisons considérées tend vers
0, vers un élément l de E. De manière précise, cela signifie que pour tout ê > 0, il existe
1/ > 0 telle que pour toute subdivision a = ( x0 , ... , xn) de [a, b] de finesse ry( a) s; ry, et
tout choix des Yi E f ([xi, XH1J), on ait
llS(f, a, (Yi)) - lll s; ê.
Cet élément l de E est appelé intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a, b], et noté
1: J(t) dt.
Si a = b, l'intégrale de f sur [a, b] est nulle.
Si f est constante sur [a, b], et a sur cet intervalle pour valeur Ç E E, son intégrale sur
[a, b] est (b - a)Ç.