§ 2. Solution du problème de Cauchy: cas lipschitzien
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b) Linéarité del 'intégrale. - Soient a et b deux points de I vérifiant a ~ b. L'application,
qui à chaque fonction continue f : I--> E, associe son intégrale l: f(t) dt sur l'intervalle
[a, b], est linéaire.
c) Positivité de l'intégrale. - Soient h: I--> IR une application continue de l'intervalle
I dans IR, a et b deux points de I vérifiant a ~ b. Si, pour tout t E [a, b], h(t) 2: 0, alors
l: h(t) dt 2: O. Si de plus a< b et si h, toujours supposée continue, est non identiquement
nulle et à valeurs 2: 0 sur [a, b], alors l: h(t) dt> O.
Soient hi : I --> IR et h2 : I --> IR deux applications continues de l'intervalle I dans
IR, a et b deux points de I vérifiant a~ b. Si, pour tout t E [a, b], hi(t) ~ h2 (t), alors
l: hi(t) dt~ l: h2(t) dt. Si de plus a< betsien un point particulier de [a, b], la valeur de
hi est strictement inférieure à celle de h2 (les applications hi et h2 étant bien sûr toujours
supposées continues), alors l: hi(t) dt< l: h2(t) dt.
d) Inégalité fondamentale. - Soient a et b deux points del vérifiant a ~ b. Nous avons
défini ci-dessus l'intégrale l: J(t) dt de l'application continue f : l--> E sur l'intervalle
[a, b]. L'application t f-+ llf(t)!!, à valeurs réelles, étant continue, nous pouvons aussi
définir son intégrale l: Il! (t) Il dt sur l'intervalle [a, b]. Nous avons alors la très importante
inégalité
1b J(t) dt ~ 1b llJ(t)ll dt.
e) Relation de Chasles. - Soient a et b deux points de 1. Si a > b, posons par convention
1b J (t) dt= - la J(t) dt.
Avec cette convention nous avons, pour tout triplet (a, b, c) de points de 1, la relation de
Chasles,
1b J(t) dt= 1c J(t) dt+ lb J(t) dt.
t) Composition avec une application linéaire. - Soit F un autre espace de Banach,
et A un élément de .C(E, F), c'est-à-dire une application linéaire continue de A dans F.
Pour tous a et b E 1, nous avons
g) Intégrale et dérivée. - Soit a un poit de E. Posons, pour tout x E 1,
F(x) = 1x J(t) dt.
L'application F : l--> E est continue sur 1, et dérivable en tout point x intérieur à 1, et a
pour dérivée en un tel point
F' (X) = f (X) .
On appelle primitive de la fonction f, une application G : l --> E, continue sur l et
dérivable en tout point x intérieur à 1, dont la dérivée en un tel point est G' (x) = f (x ). La
fonction F: x f-+ F(x) = l: J(t) dt, est donc une primitive de f. Toute autre primitive
G de f est de la forme G = F + C, où CEE est une constante.
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b) Linéarité del 'intégrale. - Soient a et b deux points de I vérifiant a ~ b. L'application,
qui à chaque fonction continue f : I--> E, associe son intégrale l: f(t) dt sur l'intervalle
[a, b], est linéaire.
c) Positivité de l'intégrale. - Soient h: I--> IR une application continue de l'intervalle
I dans IR, a et b deux points de I vérifiant a ~ b. Si, pour tout t E [a, b], h(t) 2: 0, alors
l: h(t) dt 2: O. Si de plus a< b et si h, toujours supposée continue, est non identiquement
nulle et à valeurs 2: 0 sur [a, b], alors l: h(t) dt> O.
Soient hi : I --> IR et h2 : I --> IR deux applications continues de l'intervalle I dans
IR, a et b deux points de I vérifiant a~ b. Si, pour tout t E [a, b], hi(t) ~ h2 (t), alors
l: hi(t) dt~ l: h2(t) dt. Si de plus a< betsien un point particulier de [a, b], la valeur de
hi est strictement inférieure à celle de h2 (les applications hi et h2 étant bien sûr toujours
supposées continues), alors l: hi(t) dt< l: h2(t) dt.
d) Inégalité fondamentale. - Soient a et b deux points del vérifiant a ~ b. Nous avons
défini ci-dessus l'intégrale l: J(t) dt de l'application continue f : l--> E sur l'intervalle
[a, b]. L'application t f-+ llf(t)!!, à valeurs réelles, étant continue, nous pouvons aussi
définir son intégrale l: Il! (t) Il dt sur l'intervalle [a, b]. Nous avons alors la très importante
inégalité
1b J(t) dt ~ 1b llJ(t)ll dt.
e) Relation de Chasles. - Soient a et b deux points de 1. Si a > b, posons par convention
1b J (t) dt= - la J(t) dt.
Avec cette convention nous avons, pour tout triplet (a, b, c) de points de 1, la relation de
Chasles,
1b J(t) dt= 1c J(t) dt+ lb J(t) dt.
t) Composition avec une application linéaire. - Soit F un autre espace de Banach,
et A un élément de .C(E, F), c'est-à-dire une application linéaire continue de A dans F.
Pour tous a et b E 1, nous avons
g) Intégrale et dérivée. - Soit a un poit de E. Posons, pour tout x E 1,
F(x) = 1x J(t) dt.
L'application F : l--> E est continue sur 1, et dérivable en tout point x intérieur à 1, et a
pour dérivée en un tel point
F' (X) = f (X) .
On appelle primitive de la fonction f, une application G : l --> E, continue sur l et
dérivable en tout point x intérieur à 1, dont la dérivée en un tel point est G' (x) = f (x ). La
fonction F: x f-+ F(x) = l: J(t) dt, est donc une primitive de f. Toute autre primitive
G de f est de la forme G = F + C, où CEE est une constante.