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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
h) Cas de fonctions discontinues. - Une légère généralisation des résultats ci-dessus
nous sera utile dans la suite. Nous supposons maintenant l'application f : I ---+ E continue,
non plus sur I entier, mais sur le complémentaire dans I d'une partie finie D. Nous
supposons aussi que pour tout s E D, les limites
lim J(t) et
lim J(t)
t->s, t-:=;s
t-.s, t?_s
existent (le points est alors appelé point de discontinuité simple).
Soient a et b deux points de I, a :::; b, et soient s 1, s 2 , ... , sp les éléments de D n [a, b],
rangés par ordre croissant. Nous définissons l'intégrale de f sur [a, b] en posant
lb J(t) dt= 1
81 J(t) dt+ I: 1s;+i J(t) dt+ lb J(t) dt.
a
a
i=l s;
Sp
Nous posons aussi
la J(t) dt= -1b J (t) dt.
Nous avons ainsi étendu la définition de l'intégrale aux fonctions vectorielles pouvant
avoir un nombre fini de points de discontinuité simples. Il est facile de vérifier que toutes
les propriétés de l'intégrale indiquées ci-dessus, en particulier la relation de Chasles,
subsistent. La dernière propriété concernant les relations entre intégrale et dérivée nécessite
le léger ajustement suivant.
Soit a El. Posons, pour tout x E I,
F(x) = 1x J(t) dt.
La fonction F : I ---+ E est continue sur I, et dérivable en tout point x de I - D, sa dérivée
en un tel point étant
F'(x) = J(x).
Toute primitive de f, c'est-à-dire toute application G : I ---+ E, continue sur I, dérivable
en tout point x du complémentaire dans I d'une partie finie et dont la dérivée en un tel
point est G'(x) = f(x), est nécessairement de la forme G = F + C, où CE E est une
constante.
i) Continuité et dérivabilité par rapport à un paramètre. - Soit A un espace
topologique, I un intervalle de ffit, a et b deux points de I vérifiant a :::; b, et f : I x A ---+ E
une application, à valeurs dans l'espace de Banach E. Supposons l'application f continue.
Pour chaque À E A, l'application t i--+ f ( t, À) est continue; nous pouvons donc définir son
intégrale sur [a, b], notée J: f(t, À) dt. Posons
g(À) = 1b J(t, À) dt.
Alors l'application g : A ---+ E est continue.
Supposons que A soit un ouvert d'un espace vectoriel normé G, et que l'application
f : I x A ---+ E soit continue et ait, en tout point (t, À) de [a, b] x A, une différentielle
partielle par rapport à sa seconde variable À, notée Dd ( t, À). Supposons aussi l'application
de [a, b] x A dans C(G, E), (t, À) i--+ D2f(t, À), continue. Alors l'application g: A---+ E
est de classe C 1 et sa différentielle, en chaque point À E A, est
Dg( À) = 1b D2f(t, À) dt.
Ces dernières propriétés seront utilisées au chapitre VIII, et leur démonstration est
d'ailleurs donnée dans ce chapitre (VIll.2.1 ).
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
h) Cas de fonctions discontinues. - Une légère généralisation des résultats ci-dessus
nous sera utile dans la suite. Nous supposons maintenant l'application f : I ---+ E continue,
non plus sur I entier, mais sur le complémentaire dans I d'une partie finie D. Nous
supposons aussi que pour tout s E D, les limites
lim J(t) et
lim J(t)
t->s, t-:=;s
t-.s, t?_s
existent (le points est alors appelé point de discontinuité simple).
Soient a et b deux points de I, a :::; b, et soient s 1, s 2 , ... , sp les éléments de D n [a, b],
rangés par ordre croissant. Nous définissons l'intégrale de f sur [a, b] en posant
lb J(t) dt= 1
81 J(t) dt+ I: 1s;+i J(t) dt+ lb J(t) dt.
a
a
i=l s;
Sp
Nous posons aussi
la J(t) dt= -1b J (t) dt.
Nous avons ainsi étendu la définition de l'intégrale aux fonctions vectorielles pouvant
avoir un nombre fini de points de discontinuité simples. Il est facile de vérifier que toutes
les propriétés de l'intégrale indiquées ci-dessus, en particulier la relation de Chasles,
subsistent. La dernière propriété concernant les relations entre intégrale et dérivée nécessite
le léger ajustement suivant.
Soit a El. Posons, pour tout x E I,
F(x) = 1x J(t) dt.
La fonction F : I ---+ E est continue sur I, et dérivable en tout point x de I - D, sa dérivée
en un tel point étant
F'(x) = J(x).
Toute primitive de f, c'est-à-dire toute application G : I ---+ E, continue sur I, dérivable
en tout point x du complémentaire dans I d'une partie finie et dont la dérivée en un tel
point est G'(x) = f(x), est nécessairement de la forme G = F + C, où CE E est une
constante.
i) Continuité et dérivabilité par rapport à un paramètre. - Soit A un espace
topologique, I un intervalle de ffit, a et b deux points de I vérifiant a :::; b, et f : I x A ---+ E
une application, à valeurs dans l'espace de Banach E. Supposons l'application f continue.
Pour chaque À E A, l'application t i--+ f ( t, À) est continue; nous pouvons donc définir son
intégrale sur [a, b], notée J: f(t, À) dt. Posons
g(À) = 1b J(t, À) dt.
Alors l'application g : A ---+ E est continue.
Supposons que A soit un ouvert d'un espace vectoriel normé G, et que l'application
f : I x A ---+ E soit continue et ait, en tout point (t, À) de [a, b] x A, une différentielle
partielle par rapport à sa seconde variable À, notée Dd ( t, À). Supposons aussi l'application
de [a, b] x A dans C(G, E), (t, À) i--+ D2f(t, À), continue. Alors l'application g: A---+ E
est de classe C 1 et sa différentielle, en chaque point À E A, est
Dg( À) = 1b D2f(t, À) dt.
Ces dernières propriétés seront utilisées au chapitre VIII, et leur démonstration est
d'ailleurs donnée dans ce chapitre (VIll.2.1 ).