§ 2. Solution du problème de Cauchy: cas lipschitzien
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2.5. Proposition. -
Soit E un espace de Banach (espace vectoriel normé complet)
réel, et f: 0 ~ E une application continue d'une partie 0 de~ x E dans E. Soit
(t 0 , x0 ) E O. Une application continue

to dans E, dont le graphe est contenu dans n, est une solution de l'équation
différentielle
1 (t) = f(t, (1)
et satisfait la donnée de Cauchy (t0 , x0 ) si et seulement si elle vérifie, pour tout
t E I,
to
Preuve : Supposons

t E I, nous avons alors puisque composée de t r-+ ( t, de l'application f (continue par hypothèse). Nous savons alors (2.4.g) que pour tout t E I,
to
to
Réciproquement, supposons que pour tout t E I, l'application

to
L'application est une application continue dont

que pour tout t E I, plus, en faisant t = t0 , nous voyons immédiatement que

(to, xo).
0
2.6. Définition. - Soit E un espace vectoriel normé, A un ensemble, 0 une partie
de A x E et f une application de 0 dans un autre espace vectoriel normé F. On
dit que f est lipschitzienne relativement à sa seconde variable x E E s'il existe un
réel k ;::: 0 tel que, pour tous a E A, X1 et X2 E E tels que (a, x1) et (a, x2) En,
llJ(a, x2) - f(a, x1) I l :S kllx2 - X1 Il·
Le réel k est appelé rapport de l'application f. On dit aussi application klipschitzienne pour dire application lipschitzienne de rapport k.
On suppose l'ensemble A muni d'une topologie. L'application f est dite localement
lipschitzienne relativement à sa seconde variable x E E si tout point (a, x) E n
possède un voisinage W c A x E tel que la restriction de f à n n W soit
lipschitzienne relativement à sa seconde variable (Je rapport k pouvant dépendre
du point (a, x) E 0 considéré).
2.7. Théorème de Cauchy-Lipschitz. -
Soit E un espace de Banach (espace
vectoriel normé complet) réel, et f : n ~ E une application d'une partie n de
~ x E dans E. On considère l'équation différentielle
(1)
Soit (to, xo) E n une donnée de Cauchy, qu'on suppose centre d'un tonneau
de sécurité fermé Io x Bo contenu dans 0 (avec Io = [to - l, to + l], l > 0,
Bo = Bp(x0 , r), boule fermée de centre x0 et de rayon r > 0). On suppose aussi
la restriction de f à Io x Bo continue, et lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. Il existe alors une solution de l'équation différentielle (1) satisfaisant la
donnée de Cauchy (t0 , x0 ), défi.nie sur l'intervalle ouvert ]to - l, to + l[, unique.