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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Preuve : Puisque Io est compact, toute application continue de Io dans E est bornée. Nous
pouvons donc munir l'espace C (Io, E) des applications continues de Io dans Ede la norme
de la convergence unifonne
ll'Pll = sup llcp(t)ll ·
tE/o
Nous savons (voir par exemple [T. VIII.!. 9] et [T. VIII.1.11]) que muni de cette norme, cet
espace est complet. Soit Fla partie de C(I0 , E) formée par les éléments dont le graphe est contenu dans Io x B0 . Pour tout s E Io, soit Às : C(Io, E) --> E
l'application llÀs('P)ll = ll
tElo
ce qui prouve que À 8 est continue et de norme ~ 1. Puisque Bo est une partie fermée de
E et que chaque À 8 est continue, chaque \; 1 (B0 ) est un fermé de C(I0 , E). L'ensemble
F, qui n'est autre que nsEio \; 1 (Bo), est donc une partie fermée (comme intersection de
fermés) de l'espace complet C(I0 , E), donc est complet.
Pour tout élément Tcp(t) = xo + t f(e,cp(e)) de.
}to
L'application Tep: I0 --> E est continue sur I0 , car c'est une primitive d'une application
continue. Elle est dérivable en tout point t intérieur à I 0 , et a pour dérivée
(Tcp)'(t) = f (t, cp(t)).
D'après le théorème des accroissements finis, elle vérifie, pour tout t E I 0 ,
r
llTcp(t) -Tcp(to)ll ~ sup ll(Tcp)'(e)ll lt - toi~ y l = r.
llE[to,t]
Cela prouve que le graphe de Tep est contenu dans Io x B0 , donc que T applique F dans
lui-même.
Soient
Par hypothèse, la restriction de f à Io x Bo est lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. Soit k son rapport. En utilisant les propriétés de l'intégrale (2.4), nous déduisons
de l'égalité ci-dessus les inégalités
llT
~ 11: kll'P1 - 'P2ll del
~kit - toi ll'P1 - 'P2ll ·
(**)
Posons T 1 =Tet, pour tout entier n > 1, Tn = T o rn- 1 . Pour tout entier n 2:' .: 1, Tn
applique l'ensemble F dans lui-même. Nous allons montrer que cette application vérifie,
pour tout couple (
n.
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Preuve : Puisque Io est compact, toute application continue de Io dans E est bornée. Nous
pouvons donc munir l'espace C (Io, E) des applications continues de Io dans Ede la norme
de la convergence unifonne
ll'Pll = sup llcp(t)ll ·
tE/o
Nous savons (voir par exemple [T. VIII.!. 9] et [T. VIII.1.11]) que muni de cette norme, cet
espace est complet. Soit Fla partie de C(I0 , E) formée par les éléments dont le graphe est contenu dans Io x B0 . Pour tout s E Io, soit Às : C(Io, E) --> E
l'application llÀs('P)ll = ll
ce qui prouve que À 8 est continue et de norme ~ 1. Puisque Bo est une partie fermée de
E et que chaque À 8 est continue, chaque \; 1 (B0 ) est un fermé de C(I0 , E). L'ensemble
F, qui n'est autre que nsEio \; 1 (Bo), est donc une partie fermée (comme intersection de
fermés) de l'espace complet C(I0 , E), donc est complet.
Pour tout élément Tcp(t) = xo + t f(e,cp(e)) de.
}to
L'application Tep: I0 --> E est continue sur I0 , car c'est une primitive d'une application
continue. Elle est dérivable en tout point t intérieur à I 0 , et a pour dérivée
(Tcp)'(t) = f (t, cp(t)).
D'après le théorème des accroissements finis, elle vérifie, pour tout t E I 0 ,
r
llTcp(t) -Tcp(to)ll ~ sup ll(Tcp)'(e)ll lt - toi~ y l = r.
llE[to,t]
Cela prouve que le graphe de Tep est contenu dans Io x B0 , donc que T applique F dans
lui-même.
Soient
Par hypothèse, la restriction de f à Io x Bo est lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. Soit k son rapport. En utilisant les propriétés de l'intégrale (2.4), nous déduisons
de l'égalité ci-dessus les inégalités
llT
~ 11: kll'P1 - 'P2ll del
~kit - toi ll'P1 - 'P2ll ·
(**)
Posons T 1 =Tet, pour tout entier n > 1, Tn = T o rn- 1 . Pour tout entier n 2:' .: 1, Tn
applique l'ensemble F dans lui-même. Nous allons montrer que cette application vérifie,
pour tout couple (
n.