§ 2. Solution du problème de Cauchy: cas lipschitzien
121
Pour n = 1, l'inégalité ( ***) se réduit à ( **),déjà démontrée. Supposons la vraie pour tout
entier n vérifiant 1 ::; n ::; m, et montrons qu'elle est vraie pour n = m + 1. L'inégalité ( *)
établie ci-dessus étant vraie pour tout couple ( cp1, cp2) d'éléments de F, est vraie lorsqu'on
remplace cp1 par Tmcp1 et cp2 par Tmcp2. Nous avons donc
llTm+1cp1(t) - rm+1cp2(t)ll ::; 11: kllTmcp1(0) - Tmcp2(0)ll dOI .
Mais d'après l'hypothèse de récurrence,
llTmcp1(0) -Tmcp2(0)//::; kmlO-, tolm llcp1 - 'P2ll,
m.
et par suite
l/Tm+1cp1(t) -Tm+1cp2(t)I/ ::; 11: km+1 IO ~!olm ll'P1 - cp2ll dOI
km+llt - tolm+l
::;
(m + l)!
llcp1 - cp21i,
ce qui montre que l'inégalité (***)est vraie pour n = m + 1. Nous avons donc prouvé par
récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n 2 1. Puisque, pour tout t E I,
it - to 1 ::; l, nous en déduisons
llTncp1 -Tncp2ll = supllTncp1(t) -Tncp2(t)ll::; kn~n ll'P1 - 'P2ll ·
tElo
n.
Mais ( kn zn) / n! tend vers 0 lorsque n tend vers +oo, donc pour n assez grand, ( kn zn) / n! est
strictement inférieur à 1, et l'inégalité ci-dessus exprime que l'application rn de l'espace
métrique complet F dans lui-même est contractante. D'après le théorème du point fixe,
nous pouvons affirmer que rn admet dans Fun point fixe unique, qui est aussi l'unique
point fixe dans F de l'application T (voir par exemple [T.Vl.4.3] et [T.Vl.4.4]). Ce point
fixe est un élément cp de F qui vérifie Tep = cp, c'est-à-dire une application continue
cp : Io ---> E, dont le graphe est contenu dans Io x B0 , qui vérifie, pour tout t E Io,
cp(t) = xo + 1t f (e, cp(O)) dO.
ta
D'après la proposition 2.5, la restriction de cp à l'intérieur ]ta - l, to + l[ de Io est une
solution de l'équation différentielle ( 1) satisfaisant la donnée de Cauchy ( t0 , x0 ).
Montrons maintenant l'unicité. Soit 7/J une solution de (1), définie sur l'intervalle ouvert
]to - l, t0 + l[, satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). D'après le lemme 2.3, le graphe
de 7/J est contenu dans Io x B0 . La dérivée de 7/J est bornée en norme sur ]to - l, to + l[ par
sup(t,x)Elo xBo /If (t, x) // < r /l. Les limites de 'ljl(t) lorsque t tend vers ta -l ou vers ta +l,
en restant dans ]to - l, t0 + l[, existent donc (exercice V.1), et nous pouvons prolonger 'ljJ
par continuité en une application continue, encore notée 'ljl, de Io = [ta - l, to + l] dans
E. Le graphe de 'ljJ ainsi prolongée est contenu dans Io x B0 , aussi 'ljJ est-elle élément de
F. Nous voyons alors que 7/J est un point fixe de T; elle est donc nécessairement égale à
cp.
D
2.8. Remarques et compléments
a) Extrémités de l'intervalle. - Lors de la démonstration du théorème précédent, nous
avons prouvé l'existence d'une application cp: Io ---> E dont la restriction à l'intérieur de
Io est solution de l'équation différentielle ( 1) et satisfait la donnée de Cauchy (to, xo). Il
est utile de remarquer que cp est définie aussi aux extrémités t0 - l et to + l de l'intervalle
Io et qu'elle admet, en ces points, respectivement une dérivée à droite et une dérivée à
gauche qui vérifient l'équation différentielle (1), c'est-à-dire qui satisfont
cp~(to - l) = f (to - l, cp(to - l)), cp~(to + l) = f(to + l, cp(to + l)).
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Pour n = 1, l'inégalité ( ***) se réduit à ( **),déjà démontrée. Supposons la vraie pour tout
entier n vérifiant 1 ::; n ::; m, et montrons qu'elle est vraie pour n = m + 1. L'inégalité ( *)
établie ci-dessus étant vraie pour tout couple ( cp1, cp2) d'éléments de F, est vraie lorsqu'on
remplace cp1 par Tmcp1 et cp2 par Tmcp2. Nous avons donc
llTm+1cp1(t) - rm+1cp2(t)ll ::; 11: kllTmcp1(0) - Tmcp2(0)ll dOI .
Mais d'après l'hypothèse de récurrence,
llTmcp1(0) -Tmcp2(0)//::; kmlO-, tolm llcp1 - 'P2ll,
m.
et par suite
l/Tm+1cp1(t) -Tm+1cp2(t)I/ ::; 11: km+1 IO ~!olm ll'P1 - cp2ll dOI
km+llt - tolm+l
::;
(m + l)!
llcp1 - cp21i,
ce qui montre que l'inégalité (***)est vraie pour n = m + 1. Nous avons donc prouvé par
récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n 2 1. Puisque, pour tout t E I,
it - to 1 ::; l, nous en déduisons
llTncp1 -Tncp2ll = supllTncp1(t) -Tncp2(t)ll::; kn~n ll'P1 - 'P2ll ·
tElo
n.
Mais ( kn zn) / n! tend vers 0 lorsque n tend vers +oo, donc pour n assez grand, ( kn zn) / n! est
strictement inférieur à 1, et l'inégalité ci-dessus exprime que l'application rn de l'espace
métrique complet F dans lui-même est contractante. D'après le théorème du point fixe,
nous pouvons affirmer que rn admet dans Fun point fixe unique, qui est aussi l'unique
point fixe dans F de l'application T (voir par exemple [T.Vl.4.3] et [T.Vl.4.4]). Ce point
fixe est un élément cp de F qui vérifie Tep = cp, c'est-à-dire une application continue
cp : Io ---> E, dont le graphe est contenu dans Io x B0 , qui vérifie, pour tout t E Io,
cp(t) = xo + 1t f (e, cp(O)) dO.
ta
D'après la proposition 2.5, la restriction de cp à l'intérieur ]ta - l, to + l[ de Io est une
solution de l'équation différentielle ( 1) satisfaisant la donnée de Cauchy ( t0 , x0 ).
Montrons maintenant l'unicité. Soit 7/J une solution de (1), définie sur l'intervalle ouvert
]to - l, t0 + l[, satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). D'après le lemme 2.3, le graphe
de 7/J est contenu dans Io x B0 . La dérivée de 7/J est bornée en norme sur ]to - l, to + l[ par
sup(t,x)Elo xBo /If (t, x) // < r /l. Les limites de 'ljl(t) lorsque t tend vers ta -l ou vers ta +l,
en restant dans ]to - l, t0 + l[, existent donc (exercice V.1), et nous pouvons prolonger 'ljJ
par continuité en une application continue, encore notée 'ljl, de Io = [ta - l, to + l] dans
E. Le graphe de 'ljJ ainsi prolongée est contenu dans Io x B0 , aussi 'ljJ est-elle élément de
F. Nous voyons alors que 7/J est un point fixe de T; elle est donc nécessairement égale à
cp.
D
2.8. Remarques et compléments
a) Extrémités de l'intervalle. - Lors de la démonstration du théorème précédent, nous
avons prouvé l'existence d'une application cp: Io ---> E dont la restriction à l'intérieur de
Io est solution de l'équation différentielle ( 1) et satisfait la donnée de Cauchy (to, xo). Il
est utile de remarquer que cp est définie aussi aux extrémités t0 - l et to + l de l'intervalle
Io et qu'elle admet, en ces points, respectivement une dérivée à droite et une dérivée à
gauche qui vérifient l'équation différentielle (1), c'est-à-dire qui satisfont
cp~(to - l) = f (to - l, cp(to - l)), cp~(to + l) = f(to + l, cp(to + l)).