Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
b) Dépendance d'un paramètre. - Le théorème de Cauchy-Lipschitz 2.7 peut facilement être adapté au cas d'une équation différentielle dépendant d'un paramètre. Cette
généralisation, qui sera utilisée dans le prochain chapitre (où nous ferons une étude un peu
plus poussée des équations différentielles avec paramètre), est présentée ci-dessous.
2.9. Théorème de Cauchy-Lipschitz avec paramètre. -
Soit E un espace de
Banach réel, A un espace topologique, n une partie de ~ X E X A, et f : n ----+ E
une application. On considère l'équation différentielle, dépendant d'un paramètre
>. E A,
(2)
Soient (t0 , x0 ,) E ~ x E, Io = [to - l, to + l] (avec l > 0) un intervalle fermé de
centre t0 , Bo= Bp(x0 , r) la boule fermée de Ede centre xo et de rayon r >O. On
suppose les conditions suivantes satisfaites :
(i) la partie Io x Box A de~ x Ex A est contenue dans n, et la restriction de f à
cette partie est continue, et lipschitzienne relativement à sa seconde variable;
(ii) pour tout >. E A, Io x Bo est un tonneau de sécurité pour l'équation
différentielle (2), dans laquelle le paramètre >. est considéré comme fixé.
Alors pour tout >. E A, il existe une application continue 'P>. : Io ----+ E unique,
dont la restriction à l'intérieur de Io est l'unique solution de l'équation (2) (dans
laquelle >. est fixé) définie sur cet intervalle et satisfaisant la donnée de Cauchy
(to, xo).
De plus, l'application>.~
., de l'espace topologique A dans l'espace C(I0 , E) des
applications continues de Io dans E muni de la norme de la convergence uniforme,
est continue. Cela implique, en particulier, que l'application de Io x A dans E,
(t, >.) ~ 'P>.(t), est continue.
Preuve: Elle est essentiellement la même que celle du théorème de Cauchy-Lipschitz 2.7.
Il suffit, à la fin de cette démonstration, d'utiliser le théorème de continuité du point fixe
par rapport au paramètre (voir par exemple [T.VI.4.5]).
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2.10. Théorème d'existence et d'unicité globales. -
Soit E un espace de Banach
réel, et f: n----+ E une application d'un ouvert n de~ XE dans E. On suppose f
continue sur n, et localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. On
considère l'équation différentielle
Pour toute donnée de Cauchy ( t 0 , x 0 ) E n il existe une solution maximale unique
de l'équation différentielle (1) satisfaisant cette donnée de Cauchy.
Preuve : Soit ( to, xo) E 0. Puisque 0 est ouvert et f continue et localement lipschitzienne
par rapport à sa seconde variable, il existe un tonneau de sécurité fermé 10 x B 0 , de
centre (t0 , x 0 ), contenu dans n, satisfaisant les hypothèses du théorème 2.7. Appliquant ce
théorème, nous voyons qu'il existe une solution cp de l'équation (1), définie sur l'intérieur
de Io et sati faisant la donnée de Cauchy ( t0 , x 0 ). D'après la proposition 1.3, cette solution
est restriction d'une solution maximale
contenant x0 , et satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). En remplaçant si nécessaire Io
par un intervalle fermé de centre t0 , contenu dans 10 n J, et en appliquant à nouveau le
théorème 2.7, nous voyons que les solutions