§ 3. Solution du problème de Cauchy: cas continu
123
locale pour le problème de Cauchy. Mais le corollaire 1.9 nous permet d'affirmer que c'est
un point d'unicité globale pour ce problème, donc que ép est l'unique solution maximale
de (1) satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x 0 ).
D
2.11. Le problème de Cauchy pour les équations d'ordre supérieur
Soit E un espace de Banach réel. Considérons l'équation différentielle d'ordre n (n > 1):
Une donnée de Cauchy est un point (to, Xo, X1, ... 'Xn-1) den. Résoudre le problème de
Cauchy pour cette donnée, c'est trouver une solution to E I et que
Nous avons vu comment ramener la recherche des solutions de cette équation à celle des
solutions d'une équation du premier ordre. Cela permet de traduire, pour le cas d'une
équation d'ordre n, les théorèmes d'existence et d'unicité 2.7 et 2.10 de la solution
maximale du problème de Cauchy établis ci-dessus dans le cas d'une équation du premier
ordre. Nous laissons au lecteur le soin de le faire.
3. Solution du problème de Cauchy : cas continu
Soient E un espace de Banach réel et f est une application continue d'un ouvert n de
lR x E dans E. Considérons l'équation différentielle de la forme
(1)
Nous ne supposons plus l'application f localement lipschitzienne relativement à sa seconde
variable x E E. Le théorème de Cauchy-Lipschitz 2.7 n'est donc plus applicable.
Nous allons voir cependant que lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie,
et l'application f continue, un théorème (dû à Peano) permet d'affirmer l'existence de
solutions du problème de Cauchy, pour toute donnée de Cauchy (to, xo) E O. Mais il
n'y a en général plus unicité de la solution maximale satisfaisant une donnée de Cauchy
spécifiée.
La démonstration de ce théorème repose sur la notion de solution approchée d'une équation
différentielle, introduite ci-dessous.
3.1. Définition. - Soit E un espace de Banach réel, et f une application continue
d'un ouvert n de lR x E dans E. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,
Soit un réel é > O. On dit qu'une application dans E est une solution €-approchée de l'équation (1) si contenu dans n, est différentiable en tout point du complémentaire dans I d'une
partie finie D de I, et vérifie les deux propriétés suivantes :
(i) pour tout t ED, les limites
lim
et
lim
8-+t, 8El-D, 8
existent;
(ii) pour tout t E I - D, on a
ll
Dans les hypothèses de la définition 3.1, soit (t0 , x 0 ) E n une
donnée de Cauchy et ! 0 x Bo un tonneau de sécurité fermé de centre (to, xo) (on
sait qu'un tel tonneau de sécurité existe d'après 2.2.a). On pose
M = sup llJ(t, x) Il·
(t,x)E/o X Bo
123
locale pour le problème de Cauchy. Mais le corollaire 1.9 nous permet d'affirmer que c'est
un point d'unicité globale pour ce problème, donc que ép est l'unique solution maximale
de (1) satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x 0 ).
D
2.11. Le problème de Cauchy pour les équations d'ordre supérieur
Soit E un espace de Banach réel. Considérons l'équation différentielle d'ordre n (n > 1):
Une donnée de Cauchy est un point (to, Xo, X1, ... 'Xn-1) den. Résoudre le problème de
Cauchy pour cette donnée, c'est trouver une solution to E I et que
solutions d'une équation du premier ordre. Cela permet de traduire, pour le cas d'une
équation d'ordre n, les théorèmes d'existence et d'unicité 2.7 et 2.10 de la solution
maximale du problème de Cauchy établis ci-dessus dans le cas d'une équation du premier
ordre. Nous laissons au lecteur le soin de le faire.
3. Solution du problème de Cauchy : cas continu
Soient E un espace de Banach réel et f est une application continue d'un ouvert n de
lR x E dans E. Considérons l'équation différentielle de la forme
(1)
Nous ne supposons plus l'application f localement lipschitzienne relativement à sa seconde
variable x E E. Le théorème de Cauchy-Lipschitz 2.7 n'est donc plus applicable.
Nous allons voir cependant que lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie,
et l'application f continue, un théorème (dû à Peano) permet d'affirmer l'existence de
solutions du problème de Cauchy, pour toute donnée de Cauchy (to, xo) E O. Mais il
n'y a en général plus unicité de la solution maximale satisfaisant une donnée de Cauchy
spécifiée.
La démonstration de ce théorème repose sur la notion de solution approchée d'une équation
différentielle, introduite ci-dessous.
3.1. Définition. - Soit E un espace de Banach réel, et f une application continue
d'un ouvert n de lR x E dans E. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,
Soit un réel é > O. On dit qu'une application dans E est une solution €-approchée de l'équation (1) si contenu dans n, est différentiable en tout point du complémentaire dans I d'une
partie finie D de I, et vérifie les deux propriétés suivantes :
(i) pour tout t ED, les limites
lim
et
lim
8-+t, 8El-D, 8
existent;
(ii) pour tout t E I - D, on a
ll
Dans les hypothèses de la définition 3.1, soit (t0 , x 0 ) E n une
donnée de Cauchy et ! 0 x Bo un tonneau de sécurité fermé de centre (to, xo) (on
sait qu'un tel tonneau de sécurité existe d'après 2.2.a). On pose
M = sup llJ(t, x) Il·
(t,x)E/o X Bo