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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Pour tout c > 0, il existe une solution E-approchée de l'équation différentielle (1),
notée cp, définie sur l'intervalle I0 , dont le graphe est contenu dans Io x Bo, vérifiant
cp(t0 ) = x0 . De plus, cp est lipschitzienne de rapport M.
Preuve: Soit 2l la longueur del' intervalle Io. Nous allons construire la solution c-approchée
cp sur l'intervalle [t0 , t0 + l] (la construction serait analogue sur [t0 - l 1 t 0 ]). Pour cela, nous
allons construire une suite finie ( t 11 ... 1 tk) de réels vérifiant to < tl < · · · < tk = to + l.
Nous définirons cp, de proche en proche, sur chaque intervalle [ti 1 ti+ 1], 0 :::; i :::; k - 1,
en posant
Ce procédé est en fait un moyen de construction de solutions approchées d'une équation
différentielle, appelé méthode d'Euler.
Nous devons choisir successivement t 1, t 2, ... , tk, afin que cp soit solution c-approchée de
l'équation ( 1). Pour cela, posons
tl = sup{ t E [toi to + l] ; WJ E [toit] 1 Il! (81 xo + (0 - to)fo) - foll :::; c} 1
où nous avons noté, pour abréger, fo = f(to 1 xo).
Puis, si t 1 < t0 + l, posons
t2 = sup{ t E [t11 to + l] j ve E [t11 t], Il! (el X1 + (0 - tl)fi) - fi Il :::; é} 1
avec X1 = xo + (t1 - to)fo, fi = f(t11 x1).
De manière générale, en supposant les ti définis pour 1 :::; i :::; k - 1, et tk-l < t0 + l,
posons
tk = sup{ t E [tk-11 to + l] ;
VOE [tk-11t]1 llJ(B1Xk-1+(B-tk_i)fk-i)-fk-1ll ::;c}1 (*)
avec Xk-1 = Xk-2 + (tk-1 - tk-2)fk-2. fk-1 = f(tk-11 Xk-1). Nous allons montrer
que pour un certain entier k 2: 1, le réel tk défini par la formule ( *) est égal à t0 + l.
Supposons que tel ne soit pas le cas. La construction décrite ci-dessus nous donne alors
une suite infinie ( tn , n E N), strictement croissante, majorée par t0 + l. Cette suite a donc
une limites E [to, to + l]. La suite (xn 1 n E N) est de Cauchy dans Bo, car pour tout
n EN,
Elle a donc une limite y E B0 . L'application f étant continue au point (s 1 y), il existe
rt > 0 et p > 0 tels que pour tout (t 1 x) E Io x Bo vérifiant lt - si :::; rt et llx - Yll :::; p,
nous ayons llJ(t1x) - f(s 1y)ll:::; c/2.
Posons
Puisque la suite ( (tn 1 Xn), n E N) converge vers (s 1 y), il existe un entier m EN tel que
Ü < S - tm < ( 1
Maisalors,pourtoutOvérifianttm:::; e:::; inf(to+l1 tm+(),nousavons IB-sl:::; (:::; Tf,
et
llxm + (0 - tm)fm - Yll :::; llxm - Yll +IO - tml llfmll :::; ~ + M(
< ~ + Mp <
-2
2(M+l)_p,
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Pour tout c > 0, il existe une solution E-approchée de l'équation différentielle (1),
notée cp, définie sur l'intervalle I0 , dont le graphe est contenu dans Io x Bo, vérifiant
cp(t0 ) = x0 . De plus, cp est lipschitzienne de rapport M.
Preuve: Soit 2l la longueur del' intervalle Io. Nous allons construire la solution c-approchée
cp sur l'intervalle [t0 , t0 + l] (la construction serait analogue sur [t0 - l 1 t 0 ]). Pour cela, nous
allons construire une suite finie ( t 11 ... 1 tk) de réels vérifiant to < tl < · · · < tk = to + l.
Nous définirons cp, de proche en proche, sur chaque intervalle [ti 1 ti+ 1], 0 :::; i :::; k - 1,
en posant
Ce procédé est en fait un moyen de construction de solutions approchées d'une équation
différentielle, appelé méthode d'Euler.
Nous devons choisir successivement t 1, t 2, ... , tk, afin que cp soit solution c-approchée de
l'équation ( 1). Pour cela, posons
tl = sup{ t E [toi to + l] ; WJ E [toit] 1 Il! (81 xo + (0 - to)fo) - foll :::; c} 1
où nous avons noté, pour abréger, fo = f(to 1 xo).
Puis, si t 1 < t0 + l, posons
t2 = sup{ t E [t11 to + l] j ve E [t11 t], Il! (el X1 + (0 - tl)fi) - fi Il :::; é} 1
avec X1 = xo + (t1 - to)fo, fi = f(t11 x1).
De manière générale, en supposant les ti définis pour 1 :::; i :::; k - 1, et tk-l < t0 + l,
posons
tk = sup{ t E [tk-11 to + l] ;
VOE [tk-11t]1 llJ(B1Xk-1+(B-tk_i)fk-i)-fk-1ll ::;c}1 (*)
avec Xk-1 = Xk-2 + (tk-1 - tk-2)fk-2. fk-1 = f(tk-11 Xk-1). Nous allons montrer
que pour un certain entier k 2: 1, le réel tk défini par la formule ( *) est égal à t0 + l.
Supposons que tel ne soit pas le cas. La construction décrite ci-dessus nous donne alors
une suite infinie ( tn , n E N), strictement croissante, majorée par t0 + l. Cette suite a donc
une limites E [to, to + l]. La suite (xn 1 n E N) est de Cauchy dans Bo, car pour tout
n EN,
Elle a donc une limite y E B0 . L'application f étant continue au point (s 1 y), il existe
rt > 0 et p > 0 tels que pour tout (t 1 x) E Io x Bo vérifiant lt - si :::; rt et llx - Yll :::; p,
nous ayons llJ(t1x) - f(s 1y)ll:::; c/2.
Posons
Puisque la suite ( (tn 1 Xn), n E N) converge vers (s 1 y), il existe un entier m EN tel que
Ü < S - tm < ( 1
Maisalors,pourtoutOvérifianttm:::; e:::; inf(to+l1 tm+(),nousavons IB-sl:::; (:::; Tf,
et
llxm + (0 - tm)fm - Yll :::; llxm - Yll +IO - tml llfmll :::; ~ + M(
< ~ + Mp <
-2
2(M+l)_p,