§ 3. Solution du problème de Cauchy: cas continu
et par suite
Il! (e, Xm + (e - tm)fm) - fm Il : : : ; Il! (e, Xm + (e - tm)f m) - f(s, y) Il
+ llJ(s, Y) - fmll
€
€
<-+-=€. - 2 2
125
Cela prouve que tm+l 2: inf(to + l, tm + () 2: s, ce qui contredit le fait que pour tout
n EN, tn < s.
II existe donc bien un entier k 2: 1 tel que tk = t0 + l. L'application nous avons définie ci-dessus est alors, par construction même, une solution €-approchée
de l'équation (1).
Enfin, pour tous t 1 et t 2 E Io nous avons (en utilisant les propriétés 2.4.d et 2.4.h)
llcp(t1) - cp(t2)1i :::; li
1
t
2 llcp'(e)ll del:::; Mlt1 - t21,
ce qui prouve que D
3.3. Lemme. -
Dans les hypothèses du lemme 3.2, soit ( E:n , n E N) une suite
décroissante de réels > 0 convergeant vers 0 et, pour tout n E N, 'Pn : Io -+ Bo
une solution E:n-approchée de l'équation différentielle (1) vérifiant 'Pn(t0 ) = x0 ,
lipschitzienne de rapport M. Si la suite ( 'Pn , n E N) converge uniformément sur
Io vers une application de Io est une vraie solution de l'équation différentielle (1) qui satisfait la donnée
de Cauchy (to, xo).
Preuve: Soit t E I0 . Supposons par exemple t 2: t0 • Pour tout n EN, nous avons
'Pn(t) - 'Pn(to) = 'Pn(t) - Xo = t
L'intégrale figurant dans cette expression a en effet un sens, d'après2.4.h, bien que
déduisons
'Pn(t) - xo - t f (e, 'Pn(e)) de= t ( 'P~.(e) - f (e, 'Pn(e))) de.
lto
lto
Puisque 'Pn est une solution én-approchée de l'équation (1), nous obtenons la majoration
ll'Pn(t)- Xo -1: f(e,cpn(e)) dell:::; €nit- toi·
Nous allons montrer que
lim {tf(e,cpn(e))de= tf(e,cp(e))de.
n->+= lto
lto
Remarquons qu'une fois ce résultat acquis, la démonstration sera terminée car en faisant
tendre n vers +oo dans ( * ), le membre de droite de cette inégalité tendant vers 0, tandis
que dans le membre de gauche 'Pn converge uniformément vers
}to
et la proposition 2.5 prouvera que la donnée de Cauchy (to, xo).
et par suite
Il! (e, Xm + (e - tm)fm) - fm Il : : : ; Il! (e, Xm + (e - tm)f m) - f(s, y) Il
+ llJ(s, Y) - fmll
€
€
<-+-=€. - 2 2
125
Cela prouve que tm+l 2: inf(to + l, tm + () 2: s, ce qui contredit le fait que pour tout
n EN, tn < s.
II existe donc bien un entier k 2: 1 tel que tk = t0 + l. L'application nous avons définie ci-dessus est alors, par construction même, une solution €-approchée
de l'équation (1).
Enfin, pour tous t 1 et t 2 E Io nous avons (en utilisant les propriétés 2.4.d et 2.4.h)
llcp(t1) - cp(t2)1i :::; li
1
t
2 llcp'(e)ll del:::; Mlt1 - t21,
ce qui prouve que D
3.3. Lemme. -
Dans les hypothèses du lemme 3.2, soit ( E:n , n E N) une suite
décroissante de réels > 0 convergeant vers 0 et, pour tout n E N, 'Pn : Io -+ Bo
une solution E:n-approchée de l'équation différentielle (1) vérifiant 'Pn(t0 ) = x0 ,
lipschitzienne de rapport M. Si la suite ( 'Pn , n E N) converge uniformément sur
Io vers une application de Io est une vraie solution de l'équation différentielle (1) qui satisfait la donnée
de Cauchy (to, xo).
Preuve: Soit t E I0 . Supposons par exemple t 2: t0 • Pour tout n EN, nous avons
'Pn(t) - 'Pn(to) = 'Pn(t) - Xo = t
L'intégrale figurant dans cette expression a en effet un sens, d'après2.4.h, bien que
déduisons
'Pn(t) - xo - t f (e, 'Pn(e)) de= t ( 'P~.(e) - f (e, 'Pn(e))) de.
lto
lto
Puisque 'Pn est une solution én-approchée de l'équation (1), nous obtenons la majoration
ll'Pn(t)- Xo -1: f(e,cpn(e)) dell:::; €nit- toi·
Nous allons montrer que
lim {tf(e,cpn(e))de= tf(e,cp(e))de.
n->+= lto
lto
Remarquons qu'une fois ce résultat acquis, la démonstration sera terminée car en faisant
tendre n vers +oo dans ( * ), le membre de droite de cette inégalité tendant vers 0, tandis
que dans le membre de gauche 'Pn converge uniformément vers
}to
et la proposition 2.5 prouvera que la donnée de Cauchy (to, xo).