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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
La propriété ( **) que nous devons démontrer est une conséquence immédiate du théorème
de convergence dominée de Lebesgue (voir par exemple [12]), et sa démonstration
au moyen de ce théorème n'utilise pas l'hypothèse selon laquelle les applications cpn
sont lipschitziennes de rapport M. Cependant, pour les lecteurs n'ayant pas encore
une connaissance approfondie de la théorie de l'intégration, nous allons en donner une
démonstration élémentaire utilisant cette hypothèse, mais pas de propriétés de l'intégrale
autres que celles rappelées en 2.4.
Soit é > O. Les applications cpn étant lipschitziennes de rapport M et fonnant une suite
qui converge uniformément vers cp, l'application cp est elle aussi lipschitzienne de rapport
M, et a fortiori continue. L'application
(s, y)~ g(s, y)= f (s, cp(s)) - f(s, y)
est continue comme composée d'applications continues. En particulier, pour touts E [t0 , t]
cette application est continue au point ( s, cp( s)). Il existe donc des réels T/s > 0 et r s > 0
telsque,pourtoutO E [to,t]vérifiantlB-sl ~ TJ5 ettouty E Bovérifiantlly-cp(s)ll ~ r 8 ,
nous ayons
llg(O, y) - g(s, cp(s)) Il = llf(e, cp(O)) - f(e, y)ll ~ é.
(***)
Nous pouvons de plus imposer à T/s de vérifier
rs
O < T/s < 2(M + 1)
Lorsque s parcourt l'intervalle compact [to, t], les intervalles J5 = ]s - TJ8 , s + TJs[
en forment un recouvrement ouvert, dont nous pouvons extraire un recouvrement fini
{ Js 1 , J52 , ••• , Jsv }. Soit r = inf(r81 , ••• , r 8 v).
Puisque ( cpn , n E N) converge unifonnément vers cp, il existe N E N tel que, pour tout
n;::: Net toute E [t0 , t], nous ayons
llcpn(B) - cp(B)ll < ~ ·
Soit donc n un entier;::: N, et e un élément de [t0 , t]. Il existe un indice i, 1 ~ i ~ p, tel
que e soit élément de l'intervalle ouvert Js;. Nous avons alors IB - sil < Tfsu et
llcpn(B) - cp(sdll ~ llcpn(B) - cp(B)ll + llcp(O) - cp(si)ll ~~+MIO - Sil
r
Mr 5 .
<-+
'
ce qui nous pennet d'utiliser l'inégalité ( *** ), dans laquelle nous faisons y
Nous obtenons ainsi
llf(O,cp(O)) -f(B,cpn(B))I ~ é.
Nous en déduisons
111: f(e, cp(O)) de -1: f(e, cpn(B)) del l ~ l)1(e, cp(B)) - f(e, cpn(B)) JI de
~ élt - toi·
Le réel é > 0 pouvant être arbitrairement petit, nous avons prouvé ( ** ).
D
3.4. Théorème de Peano. -
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et
f une application continue d'un ouvert n de IR x E dans E. Pour toute donnée
de Cauchy (t0 , xo) E n, il existe au moins une solution maximale cp : I ---> E de
l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t))'
(1)
satisfaisant la donnée de Cauchy (to, x0 ).
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
La propriété ( **) que nous devons démontrer est une conséquence immédiate du théorème
de convergence dominée de Lebesgue (voir par exemple [12]), et sa démonstration
au moyen de ce théorème n'utilise pas l'hypothèse selon laquelle les applications cpn
sont lipschitziennes de rapport M. Cependant, pour les lecteurs n'ayant pas encore
une connaissance approfondie de la théorie de l'intégration, nous allons en donner une
démonstration élémentaire utilisant cette hypothèse, mais pas de propriétés de l'intégrale
autres que celles rappelées en 2.4.
Soit é > O. Les applications cpn étant lipschitziennes de rapport M et fonnant une suite
qui converge uniformément vers cp, l'application cp est elle aussi lipschitzienne de rapport
M, et a fortiori continue. L'application
(s, y)~ g(s, y)= f (s, cp(s)) - f(s, y)
est continue comme composée d'applications continues. En particulier, pour touts E [t0 , t]
cette application est continue au point ( s, cp( s)). Il existe donc des réels T/s > 0 et r s > 0
telsque,pourtoutO E [to,t]vérifiantlB-sl ~ TJ5 ettouty E Bovérifiantlly-cp(s)ll ~ r 8 ,
nous ayons
llg(O, y) - g(s, cp(s)) Il = llf(e, cp(O)) - f(e, y)ll ~ é.
(***)
Nous pouvons de plus imposer à T/s de vérifier
rs
O < T/s < 2(M + 1)
Lorsque s parcourt l'intervalle compact [to, t], les intervalles J5 = ]s - TJ8 , s + TJs[
en forment un recouvrement ouvert, dont nous pouvons extraire un recouvrement fini
{ Js 1 , J52 , ••• , Jsv }. Soit r = inf(r81 , ••• , r 8 v).
Puisque ( cpn , n E N) converge unifonnément vers cp, il existe N E N tel que, pour tout
n;::: Net toute E [t0 , t], nous ayons
llcpn(B) - cp(B)ll < ~ ·
Soit donc n un entier;::: N, et e un élément de [t0 , t]. Il existe un indice i, 1 ~ i ~ p, tel
que e soit élément de l'intervalle ouvert Js;. Nous avons alors IB - sil < Tfsu et
llcpn(B) - cp(sdll ~ llcpn(B) - cp(B)ll + llcp(O) - cp(si)ll ~~+MIO - Sil
r
Mr 5 .
<-+
'
ce qui nous pennet d'utiliser l'inégalité ( *** ), dans laquelle nous faisons y
Nous obtenons ainsi
llf(O,cp(O)) -f(B,cpn(B))I ~ é.
Nous en déduisons
111: f(e, cp(O)) de -1: f(e, cpn(B)) del l ~ l)1(e, cp(B)) - f(e, cpn(B)) JI de
~ élt - toi·
Le réel é > 0 pouvant être arbitrairement petit, nous avons prouvé ( ** ).
D
3.4. Théorème de Peano. -
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et
f une application continue d'un ouvert n de IR x E dans E. Pour toute donnée
de Cauchy (t0 , xo) E n, il existe au moins une solution maximale cp : I ---> E de
l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t))'
(1)
satisfaisant la donnée de Cauchy (to, x0 ).