§ 4. Bouts d'une solution maximale
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Preuve: D'après 2.2.a, (to, xo) est centre d'un tonneau de sécurété fermé Io x B 0 . Soit
M =
sup
llf(t, x)ll ·
(t,x)EloxBo
Grâce au lemme 3.2, nous pouvons construire une suite (En, n E N) de réels strictement
positifs convergeant vers 0 et une suite ( E, chaque application étant une solution En-approchée de l'équation différentielle (1). Pour tous t et t' E I 0 , et
tout n E N, nous avons
ll Cela prouve que la suite ( D'autre part, pour tout t E Io et tout n E N, de centre x0 et de rayon Mit - t0 1, qui est compacte car E est de dimension finie. Le
théorème d' Ascoli (voir par exemple [T.VIII.3.8]) montre alors que la suite ( est contenue dans une partie relativement compacte (c'est-à-dire d'adhérence compacte)
de l'espace C(I0 , E) des applications continues de Io dans E, muni de la norme de la
convergence uniforme. Nous pouvons donc en extraire une suite ( 'l/Jn = désignant une application strictement croissante de N dans lui-même) qui converge. Soit

0
le lemme 3.3, la restriction de

satisfait la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). D'après la proposition 1.3, il existe une solution
0
maximale (encore notée

aussi la donnée de Cauchy (t0 , x0 ).
D
3.5. Exemple de non unicité. - L'équation différentielle

admet une infinité de solutions satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 = 0, x0 = 0), ayant
pour expression
{
(t-À) 3 pourt:SÀ
0
pourÀ:St:Sµ
( t - µ) 3 pour µ :S t ,
où À et µ sont deux réels vérifiant À :S t0 :S µ.
3.6. Cas d'une équation différentielle d'ordre n. - Le théorème d'existence 3 .4 s'adapte
sans difficulté au cas d'une équation différentielle d'ordre n > 1, de la forme
où E est un espace vectoriel de dimension finie et f une application continue d'un ouvert
n de IR X En dans E. Pour toute donnée de Cauchy (to, Xo, X1, ... 'Xn-1) E n, il existe
une solution maximale

c'est-à-dire qui satisfait t 0 E I, x 0 = 4. Bouts d'une solution maximale
Nous considérons dans ce paragraphe l'équation différentielle, sur l'espace vectoriel normé
E,

(1)
où f est une application d'une partie n de IR x E dans E. Les hypothèses sur E et f seront
précisées en temps utile.

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