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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
4.1. Définition. -
Soit cp une solution maximale de l'équation différentielle (1),
]a, b[ son intervalle de définition (a pouvant être fini ou égal à -oo, et b fini ou
égal à +oo). On appelle bout droit ( resp., bout gauche) de cette solution maximale
l'ensemble des valeurs d'adhérence, lorsque t ----t b (resp., lorsque t ----t a), de
l'application de Ja,b[ dans lR x E: t H (t,cp(t)).
4.2. Commentaire
a) Projection des bouts sur le facteur IR. -- Il importe de remarquer que le bout droit
(resp., gauche) de la solution cp est une partie de lR x E, qui peut éventuellement être vide.
Si cette partie est non vide, sa projection sur le facteur lR est nécessairement le singleton
{ b} (resp., le singleton {a}); en effet, b (resp., a) est la limite, donc l'unique valeur
d'adhérence, de l'injection canonique de ]a, b[ dans IR, t t--t t, lorsque t ----t b (resp.,
lorsque t ----t a).
Nous voyons donc que si b = +oo (resp., si a= -oo), le bout droit (resp., gauche) de la
solution cp est vide.
b) Ensembles limites. - Supposons l'intervalle de définition de la solution maximale cp
non borné à droite (resp., à gauche), c'est-à-dire de la forme ]a, +oo[ (resp., de la forme
J - oo, b[ ). Le bout droit (resp., gauche) de la solution cp est alors vide. Afin d'étudier le
comportement de cp(t) lorsque t ----t +oo (resp., lorsque t ----t -oo), il est utile d'introduire
la notion d'ensemble w-limite (resp., d'ensemble a-limite) de cp : c'est, par définition,
l'ensemble des valeurs d'adhérence de l'application t H cp(t) lorsque t ----t +oo (resp.,
lorsque t ----t -oo). Les ensembles w-limite et a-limite de cp sont des parties de E, qui
peuvent éventuellement être vides. L'étude de leurs propriétés est très intéressante, mais
moins élémentaire que celle des bouts; elle ne sera pas abordée dans ce livre.
4.3. Théorème. -
On se place dans les hypothèses du théorème d'existence et
d'unicité globale 2.10 : l'espace E est de Banach, n est un ouvert de lR X E,
l'application f est continue sur n et localement lipschitzienne relativement à sa
seconde variable. Les bouts d'une solution maximale cp : ]a, b[ ----t E de l'équation
différentielle (1) ont les propriétés suivantes.
(i) Si un bout (droit ou gauche) de cp est non vide, il est contenu dans la frontière
den.
(ii) Si b < +oo et s'il existe é > 0 tel que t H llcp' (t) Il soit bornée sur Jb - é, b[, la
limite
lim
cp(t)
t-+b, tE]a,b[
existe, et le bout droit de la solution cp est le singleton { (b, limt-+b, tE Ja,b[ cp( t)) } .
De même, si -oo < a et s'il existe é > 0 tel que t H llcp'(t)ll soit bornée sur
]a, a + é[, la limite
lim
cp(t)
t-+a, tE Ja,b[
existe, et le bout gauche de la solution (iii) Si b < +oo et si le bout droit de cp est vide (resp., si -oo < a et si le bout
gauche de cp est vide), pour toute partie compacte K de E, il existe é > 0 tel que
pour tout t E ]a, b[ vérifiant b - t < é (resp., vérifiant t - a < E), cp(t) n'est pas
élément de K.
Preuve : Nous établirons ces propriétés pour le bout droit (le cas du bout gauche étant bien
sûr tout à fait analogue).
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
4.1. Définition. -
Soit cp une solution maximale de l'équation différentielle (1),
]a, b[ son intervalle de définition (a pouvant être fini ou égal à -oo, et b fini ou
égal à +oo). On appelle bout droit ( resp., bout gauche) de cette solution maximale
l'ensemble des valeurs d'adhérence, lorsque t ----t b (resp., lorsque t ----t a), de
l'application de Ja,b[ dans lR x E: t H (t,cp(t)).
4.2. Commentaire
a) Projection des bouts sur le facteur IR. -- Il importe de remarquer que le bout droit
(resp., gauche) de la solution cp est une partie de lR x E, qui peut éventuellement être vide.
Si cette partie est non vide, sa projection sur le facteur lR est nécessairement le singleton
{ b} (resp., le singleton {a}); en effet, b (resp., a) est la limite, donc l'unique valeur
d'adhérence, de l'injection canonique de ]a, b[ dans IR, t t--t t, lorsque t ----t b (resp.,
lorsque t ----t a).
Nous voyons donc que si b = +oo (resp., si a= -oo), le bout droit (resp., gauche) de la
solution cp est vide.
b) Ensembles limites. - Supposons l'intervalle de définition de la solution maximale cp
non borné à droite (resp., à gauche), c'est-à-dire de la forme ]a, +oo[ (resp., de la forme
J - oo, b[ ). Le bout droit (resp., gauche) de la solution cp est alors vide. Afin d'étudier le
comportement de cp(t) lorsque t ----t +oo (resp., lorsque t ----t -oo), il est utile d'introduire
la notion d'ensemble w-limite (resp., d'ensemble a-limite) de cp : c'est, par définition,
l'ensemble des valeurs d'adhérence de l'application t H cp(t) lorsque t ----t +oo (resp.,
lorsque t ----t -oo). Les ensembles w-limite et a-limite de cp sont des parties de E, qui
peuvent éventuellement être vides. L'étude de leurs propriétés est très intéressante, mais
moins élémentaire que celle des bouts; elle ne sera pas abordée dans ce livre.
4.3. Théorème. -
On se place dans les hypothèses du théorème d'existence et
d'unicité globale 2.10 : l'espace E est de Banach, n est un ouvert de lR X E,
l'application f est continue sur n et localement lipschitzienne relativement à sa
seconde variable. Les bouts d'une solution maximale cp : ]a, b[ ----t E de l'équation
différentielle (1) ont les propriétés suivantes.
(i) Si un bout (droit ou gauche) de cp est non vide, il est contenu dans la frontière
den.
(ii) Si b < +oo et s'il existe é > 0 tel que t H llcp' (t) Il soit bornée sur Jb - é, b[, la
limite
lim
cp(t)
t-+b, tE]a,b[
existe, et le bout droit de la solution cp est le singleton { (b, limt-+b, tE Ja,b[ cp( t)) } .
De même, si -oo < a et s'il existe é > 0 tel que t H llcp'(t)ll soit bornée sur
]a, a + é[, la limite
lim
cp(t)
t-+a, tE Ja,b[
existe, et le bout gauche de la solution (iii) Si b < +oo et si le bout droit de cp est vide (resp., si -oo < a et si le bout
gauche de cp est vide), pour toute partie compacte K de E, il existe é > 0 tel que
pour tout t E ]a, b[ vérifiant b - t < é (resp., vérifiant t - a < E), cp(t) n'est pas
élément de K.
Preuve : Nous établirons ces propriétés pour le bout droit (le cas du bout gauche étant bien
sûr tout à fait analogue).