§ 4. Bouts d'une solution maximale
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(i) Soit (b, y) un élément du bout droit de cp. C'est une valeur d'adhérence de l'application
t ~ ( t, cp(t) ), qui prend ses valeurs dans n. Par suite, (b, y) E n. Supposons (b, y) E n.
Il existe alors un tonneau de sécurité fermé [b - l, b + l] x Bp(y, r), centré sur (b, y),
contenu dans n, avec l > 0, r > O. Considérons le tonneau fermé de même centre (b, y),
homothétique du précédent dans le rapport 1/3, c'est-à-dire [b-l/3, b+l/3] x Bp(y, r /3).
C'est un voisinage de ( b, y); comme ( b, y) est valeur d'adhérence de t 1-7 ( t, cp( t)), il existe
s E]a,b[ telque(s,cp(s)) E [b-l/3,b+l/3]xBp(y,r/3).Autrementdit,O < b-s:::; l/3
et llcp(s) - Yll :::; r/3. Mais alors [s - 2l/3, s + 2l/3] x Bp(cp(s), 2l/3) est un tonneau
de sécurité fermé, de centre (s, cp(s)) (remarque 2.2.b). Le théorème d'existence 2.7 nous
permet alors d'affirmer que la solution maximale de (1) qui satisfait la donnée de Cauchy
( s, cp(s)) est définie sur un intervalle qui contient ]s - 2l/3, s + 2l/3[. Mais cette solution
n'est autre que cp, et puisque b- s :::; l/3, s + 2l/3 2: b + l/3 > b. Nous avons ainsi prouvé
que b n'est pas l'extrémité droite de l'intervalle de définition de la solution maximale cp,
contrairement à la définition même de b. Notre hypothèse de départ, selon laquelle ( b, y)
appartient à n, est donc fausse. Le point (b, y), élément de l'adhérence den mais pas de
n, est nécessairement élément de la frontière de n.
(ii) Soit (tn, n EN) une suite croissante de points de l'intervalle [b- €, b[, qui converge
vers b. D'après le théorème des accroissements finis, pour tous pet q E N,
llcp(tp) - cp(tq)ll :::; sup llcp'(t)ll itp - tql :::; M ltp - tql,
tE(b-e,b(
où nous avons noté Mun majorant de llcp'(t)ll pour t E ]b - €, b[. Cette inégalité montre
que la suite (cp(tn), n EN) est de Cauchy dans E complet, donc converge vers un élément
Ç de cet espace. L'élément Ç ne dépend pas du choix de la suite (tn). car avec deux suites
croissantes (tn) et (t~) dans [b-é, b[ convergeant vers b, on peut, en considérant la réunion
des termes de ces deux suites et en l'ordonnant selon l'ordre croissant, former une nouvelle
suite croissante (sn). convergeant vers b, dont les suites (tn) et (t~) sont extraites; la
convergence de la suite ( cp( sn)) montre que les deux suites ( cp( tn)) et ( cp( t~)), qui en sont
extraites, ont la même limite. Nous pouvons alors affirmer (voir par exemple [T.VI.1.4.c])
que l'application t 1-7 cp(t) a pour limite Ç lorsque t ~ b, t E ]a, b[. Aussi, lorsque t ~ b,
l'application t 1-7 ( t, cp(t)) converge vers (b, Ç), et a donc ce point de IR. x E pourunique
valeur d'adhérence.
(iii) Si la propriété annoncé était fausse, il existerait une partie compacte K de E ayant
la propriété suivante : pour tout entier n E N*, il existe un réel tn E [b - ( 1 / n), b[ tel
que cp( tn) E K. La suite ( cp( tn) , n E N), contenue dans un compact, aurait une valeur
d'adhérence Ç E K. Le point (b, Ç) de IR. x E serait alors élément du bout droit de cp, en
contradiction avec l'hypothèse selon laquelle ce bout droit est vide.
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4.4. Commentaires
a) Équations déB.nies sur IR. X E. - Si le domaine de définition n de la fonction f est
IR. x E entier, la frontière de n est vide. Le théorème 4.3 montre alors que les bouts droit
et gauche de toute solution maximale de ( 1) sont vides.
b) Explosions. - Considérons, pour simplifier, une équation différentielle autonome,
satisfaisant les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité globales 2.10. La partie n
de IR. x E est alors de la forme IR. x U, où U est un ouvert de l'espace de Banach E. Soit
cp : ]a, b[ ~ E une solution maximale de cette équation, pour laquelle b < +oo (le cas
-oo < a donnerait lieu à un raisonnement analogue). Pourquoi ne peut-on pas prolonger
cette solution au delà de b? Le théorème 4.3 donne des éléments de réponse :
- ou bien le bout droit de la solution est non vide, et il est contenu dans la frontière
de n = IR. x U; comme la frontière du facteur IR. est vide, le bout droit de cp est
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(i) Soit (b, y) un élément du bout droit de cp. C'est une valeur d'adhérence de l'application
t ~ ( t, cp(t) ), qui prend ses valeurs dans n. Par suite, (b, y) E n. Supposons (b, y) E n.
Il existe alors un tonneau de sécurité fermé [b - l, b + l] x Bp(y, r), centré sur (b, y),
contenu dans n, avec l > 0, r > O. Considérons le tonneau fermé de même centre (b, y),
homothétique du précédent dans le rapport 1/3, c'est-à-dire [b-l/3, b+l/3] x Bp(y, r /3).
C'est un voisinage de ( b, y); comme ( b, y) est valeur d'adhérence de t 1-7 ( t, cp( t)), il existe
s E]a,b[ telque(s,cp(s)) E [b-l/3,b+l/3]xBp(y,r/3).Autrementdit,O < b-s:::; l/3
et llcp(s) - Yll :::; r/3. Mais alors [s - 2l/3, s + 2l/3] x Bp(cp(s), 2l/3) est un tonneau
de sécurité fermé, de centre (s, cp(s)) (remarque 2.2.b). Le théorème d'existence 2.7 nous
permet alors d'affirmer que la solution maximale de (1) qui satisfait la donnée de Cauchy
( s, cp(s)) est définie sur un intervalle qui contient ]s - 2l/3, s + 2l/3[. Mais cette solution
n'est autre que cp, et puisque b- s :::; l/3, s + 2l/3 2: b + l/3 > b. Nous avons ainsi prouvé
que b n'est pas l'extrémité droite de l'intervalle de définition de la solution maximale cp,
contrairement à la définition même de b. Notre hypothèse de départ, selon laquelle ( b, y)
appartient à n, est donc fausse. Le point (b, y), élément de l'adhérence den mais pas de
n, est nécessairement élément de la frontière de n.
(ii) Soit (tn, n EN) une suite croissante de points de l'intervalle [b- €, b[, qui converge
vers b. D'après le théorème des accroissements finis, pour tous pet q E N,
llcp(tp) - cp(tq)ll :::; sup llcp'(t)ll itp - tql :::; M ltp - tql,
tE(b-e,b(
où nous avons noté Mun majorant de llcp'(t)ll pour t E ]b - €, b[. Cette inégalité montre
que la suite (cp(tn), n EN) est de Cauchy dans E complet, donc converge vers un élément
Ç de cet espace. L'élément Ç ne dépend pas du choix de la suite (tn). car avec deux suites
croissantes (tn) et (t~) dans [b-é, b[ convergeant vers b, on peut, en considérant la réunion
des termes de ces deux suites et en l'ordonnant selon l'ordre croissant, former une nouvelle
suite croissante (sn). convergeant vers b, dont les suites (tn) et (t~) sont extraites; la
convergence de la suite ( cp( sn)) montre que les deux suites ( cp( tn)) et ( cp( t~)), qui en sont
extraites, ont la même limite. Nous pouvons alors affirmer (voir par exemple [T.VI.1.4.c])
que l'application t 1-7 cp(t) a pour limite Ç lorsque t ~ b, t E ]a, b[. Aussi, lorsque t ~ b,
l'application t 1-7 ( t, cp(t)) converge vers (b, Ç), et a donc ce point de IR. x E pourunique
valeur d'adhérence.
(iii) Si la propriété annoncé était fausse, il existerait une partie compacte K de E ayant
la propriété suivante : pour tout entier n E N*, il existe un réel tn E [b - ( 1 / n), b[ tel
que cp( tn) E K. La suite ( cp( tn) , n E N), contenue dans un compact, aurait une valeur
d'adhérence Ç E K. Le point (b, Ç) de IR. x E serait alors élément du bout droit de cp, en
contradiction avec l'hypothèse selon laquelle ce bout droit est vide.
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4.4. Commentaires
a) Équations déB.nies sur IR. X E. - Si le domaine de définition n de la fonction f est
IR. x E entier, la frontière de n est vide. Le théorème 4.3 montre alors que les bouts droit
et gauche de toute solution maximale de ( 1) sont vides.
b) Explosions. - Considérons, pour simplifier, une équation différentielle autonome,
satisfaisant les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité globales 2.10. La partie n
de IR. x E est alors de la forme IR. x U, où U est un ouvert de l'espace de Banach E. Soit
cp : ]a, b[ ~ E une solution maximale de cette équation, pour laquelle b < +oo (le cas
-oo < a donnerait lieu à un raisonnement analogue). Pourquoi ne peut-on pas prolonger
cette solution au delà de b? Le théorème 4.3 donne des éléments de réponse :
- ou bien le bout droit de la solution est non vide, et il est contenu dans la frontière
de n = IR. x U; comme la frontière du facteur IR. est vide, le bout droit de cp est