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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
nécessairement contenu dans { b} x Fr(U), où Fr(U) désigne la frontière de l'ouvert
U de E; la solution

du domaine de définition de l'équation;
- ou.bien le bout droit de la solution

K de E, la valeur lorsque t ---+ b; en un certain sens (précisé ci-dessous) ou peut dire que la solution
"part à l'infini", ou "explose", lorsque t ---+ b.
Le lecteur remarquera que lorsque E est de dimension finie, ses parties compactes sont ses
parties fermées et bornées. Il est alors tout à fait légitime de dire que lorsque t---+ b pour dire que, pour toute partie compacte K de E, E est de dimension infinie, il existe des parties fermées et bornées de E non compactes, et
di:'e que 1.p(t) "part à l'infini" dans l'infinité des dimensions de E.
5. Exercices
Exercice V.l.
Soit E un IR-espace de Banach.
1) Soit ]a, b[ un intervalle ouvert de IR, et M > 0 un réel. Soit

application lipschitzienne de rapport M. Montrer que si b est fini,

continuité en ce point.
2) Soit f : lR x E ---+ E une application continue. On suppose que f est bornée et localement
lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. On pose M = SUP(t,x)E!RxE llf(t, x)ll·
2 a) Montrer que toute solution de l'équation différentielle x'(t) = f(t,x(t)) est
lipschitzienne de rapport M sur son intervalle de définition.
2 b) En déduire que les solutions maximales de cette équation sont définies sur R
Exercice V.2.
Soit f : IR 2 ---+ lR l'application
4t 3 x
f(t,x) = 4
2
si (t,x) -::f. (0,0),
f(O,O) =O.
t +x
l) Montrer que f est continue sur IR 2 , puis que f n'est pas lipschitzienne par rapport à sa
seconde variable x au voisinage de (0, 0).
2) Montrer que l'équation différentielle x' (t) = f ( t, x(t)) possède une infinité de solutions
satisfaisant la donnée de Cauchy (0, 0). [On pourra faire le changement de variable
X= t 2 y].
Exercice V.3.
Soit E un IR-espace de Banach. On note idE l'application identique de
E et .C(E, E) l'ensemble des endomorphismes continus de E. Soit A E .C(E, E). On
considère l'équation différentielle, dans l'espace .C(E, E), X'= -X o A o X.
1) Montrer que cette équation possède une unique solution maximale

donnée de Cauchy (0, idE).
2) Montrer que l'intervalle de définition de

3) Donner l'expression de

'lj!(t) = (idE +tA) o Exercice V.4. Soient E et F deux IR-espaces de Banach et f une application de classe
C 1 de EX F dans .C(E, F).
1) On pose g(x, y) = fUx, y)+ f~(x, y) of (x, y). Montrer que g(x, y) est une application
bilinéaire. Expliquer pourquoi l'application g est continue.
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