§ 5. Exercices
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2) On suppose que pour chaque point (a, b) E Ex F, il existe une application cp, définie
sur un voisinage ouvert U de a dans E, à valeurs dans F, différentiable sur U, telle que,
pour tout x E U, on ait
cp'(x) = f (x, cp(x)),
cp(a) = b.
(1)
2 a) Montrer que cp est de classe C 2 . En déduire que l'application bilinéaire g(a, b) est
symétrique.
2 b) On suppose U convexe. Soit x E U. On pose
'l/J(t) = cp(t(x - a)+ a).
Montrer que la fonction ' l/J est définie sur un intervalle ouvert contenant [O, l]. Écrire
l'équation différentielle dont ' l/J est solution. Montrer qu'il existe au plus une fonction cp
vérifiant la condition (1 ).
2 c) On suppose U connexe. Montrer qu'il existe au plus une fonction cp vérifiant la
condition (1).
Exercice V.5.
1) On note n l'ensemble des points ( x, y) E lR 2 tels que ( x - y )y + 1 > O. Montrer que
n est un ouvert que ]'on décrira.
2) Soit (a, b) E n. On considère l'équation différentielle (dans laquelle X désigne la
variable indépendante, et x f-+ y(x) la fonction inconnue),
y'(x) = j(x -y(x))y(x) + 1-1.
2 a) Montrer qu'il existe une unique solution maximale cp de l'équation ( *) qui vérifie
cp( a) = b. On note I =]a, .B[ son intervalle de définition.
2 b) Trouver, lorsque b = 0, la fonction cp et l'intervalle I.
2 c) On suppose b >O. Montrer que, pour tout x E J, on a cp(x) >O.
2 d) Trouver la solution ' l/J del' équation différentielle ( *) telle que 'l/J( -a) = -b, et préciser
son intervalle de définition.
3) On suppose 0 < b
3 b) Calculer cp'(t) et en déduire que l'équation cp(t) =ta une unique solution.
3 c) Montrer que la fonction cp est décroissante au voisinage de a et que a > -oo.
4) On suppose que a < b et 0 < b.
4 a) Montrer qu'il existe un point t de l'intervalle ]a, .B[ tel que cp(t) = t.
4 b) Montrer que .B = +oo, puis que limx-++oo cp(x) = +oo.
Exercice V.6. On se propose d'étudier l'équation différentielle:
cp"' - cpcp" = 0 ,
où cp est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de IR, à valeurs
dans!R.
1 a) Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique
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2) On suppose que pour chaque point (a, b) E Ex F, il existe une application cp, définie
sur un voisinage ouvert U de a dans E, à valeurs dans F, différentiable sur U, telle que,
pour tout x E U, on ait
cp'(x) = f (x, cp(x)),
cp(a) = b.
(1)
2 a) Montrer que cp est de classe C 2 . En déduire que l'application bilinéaire g(a, b) est
symétrique.
2 b) On suppose U convexe. Soit x E U. On pose
'l/J(t) = cp(t(x - a)+ a).
Montrer que la fonction ' l/J est définie sur un intervalle ouvert contenant [O, l]. Écrire
l'équation différentielle dont ' l/J est solution. Montrer qu'il existe au plus une fonction cp
vérifiant la condition (1 ).
2 c) On suppose U connexe. Montrer qu'il existe au plus une fonction cp vérifiant la
condition (1).
Exercice V.5.
1) On note n l'ensemble des points ( x, y) E lR 2 tels que ( x - y )y + 1 > O. Montrer que
n est un ouvert que ]'on décrira.
2) Soit (a, b) E n. On considère l'équation différentielle (dans laquelle X désigne la
variable indépendante, et x f-+ y(x) la fonction inconnue),
y'(x) = j(x -y(x))y(x) + 1-1.
2 a) Montrer qu'il existe une unique solution maximale cp de l'équation ( *) qui vérifie
cp( a) = b. On note I =]a, .B[ son intervalle de définition.
2 b) Trouver, lorsque b = 0, la fonction cp et l'intervalle I.
2 c) On suppose b >O. Montrer que, pour tout x E J, on a cp(x) >O.
2 d) Trouver la solution ' l/J del' équation différentielle ( *) telle que 'l/J( -a) = -b, et préciser
son intervalle de définition.
3) On suppose 0 < b
3 b) Calculer cp'(t) et en déduire que l'équation cp(t) =ta une unique solution.
3 c) Montrer que la fonction cp est décroissante au voisinage de a et que a > -oo.
4) On suppose que a < b et 0 < b.
4 a) Montrer qu'il existe un point t de l'intervalle ]a, .B[ tel que cp(t) = t.
4 b) Montrer que .B = +oo, puis que limx-++oo cp(x) = +oo.
Exercice V.6. On se propose d'étudier l'équation différentielle:
cp"' - cpcp" = 0 ,
où cp est une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert de IR, à valeurs
dans!R.
1 a) Mettre cette équation différentielle sous la forme canonique