(**)
2) Soit

t ~

En déduire que la fonction

Déterminer

3) Soient 'lj,1 (a) :::; 'l/J' (a) :::;

0 :::; 'l/J" (a) :::;

3 a) Montrer qu'il existe b > a tel que 3 b) On suppose que 'ljJ"(a) =O. Montrer que pour tout t E [a, b[, 'ljJ(t) :::; 4) On suppose dans cette question que 'l/J"(a) > 0 et on pose
c = sup{ t E [a, b[ ; Vu E [a, t], 'l/J(u):::; 4 a) Montrer que la fonction ()est définie et croissante sur l'intervalle [a, c[. En déduire
que l'on a, pour tout t E [a, c[, 'l/J"(t) :::; 4 b) Établir que c = b. [On supposera d'abord que a < c < b, et on montrera
que 5 b) Soient A, B et C trois réels strictement positifs. Soit

satisfaisant les conditions initiales ( ** ). Montrer que l'extrémité droite de l'intervalle de
définition de

Exercice V. 7. L'espace vectoriel E des applications continues de [O, 1 J vers IR est muni
de la norme de la convergence uniforme x ~ llxll = suptE[o,iilx(t)I. Soit Ei le sous
espace de E des applications de classe ci sur [ü, 1] (au sens de la définition 1.1 du chapitre
VIII) nulles en O. On pose, pour tout x E Ei. N(x) = suptE[O,i] lx' (t) I ·
1) Vérifier que N est une norme sur Ei et que cet espace est complet pour cette norme.
2) Soit

déterminer sa différentielle D 3) Soit y E E. Montrer que si llYll est assez petit, l'équation différentielle
x'(t) + x 2 (t) = y(t)
(*)
admet une et une seule solution appartenant à Ei.
4)SoitK E]ü,1[ etg: Ei - t Ei I'applicationg(x) = (D On désigne par Bi la boule fermée de Ei de centre l'origine et de rayon K/2. Montrer
que g est une application contractante de Bi dans elle-même. Montrer que lorsque llYll :::;
(1/2)K(l - K), l'équation(*) a une unique solution x E Ei vérifiant N(x) < K/2.
5) Soit a > O. On considère l'équation différentielle
x'(t) + x 2 (t) = -a 2 .