§ 6. Solutions
133
Montrer qu'il existe des valeurs de a pour lesquelles cette équation n'a aucune solution
appartenant à Ei.
Exercice V.8. Soient a, Net C des constantes réelles telles que a > 0, 0 < C < N.
Soit F : lR x 1Rn ~ 1Rn une application continue, satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) pour tout t E JR, llF(t, 0)11 ~ ae-Nt,
(ii) pour tout t E lR et tout (X, Y) E ]Rn x ]Rn ,
llF(t,X) - F(t, Y)ll ~ c11x - Yll ·
On considère l'équation différentielle
X'(t) = F(t,X(t)).
(E)
On définit une suite (Xk, k E N) d'applications de lR vers JRn en posant X 0 = 0 et, pour
tout entier k 2 0,
1) Montrer que la suite (Xk) est bien définie et qu'il existe une suite de réels (ck, k E N)
telle que, pour tout réel t, llXk+i(t) - Xk(t)ll ~ cke-Nt.
2) Montrer que la suite (Xk) converge uniformément sur tout intervalle compact de lR vers
une limite X, solution sur lR de (E) telle que l'application t r-t eNt X (t) soit bornée.
3) Montrer que cette solution est l'unique solution X de (E) telle que t r-t eNt X(t) soit
bornée.
4) L'équation (E) peut-elle avoir une solution Y, distincte de X, telle que Y(t) ait pour
limite 0 lorsque t tend vers +oo?
6. Solutions
Solution V.l.
1) Soit (tn, n E N) une suite de points de ]a, b[ de limite b. Étant convergente, cette suite est de Cauchy.
L'application cp étant lipschizienne nous avons, pour tous net p E !'\!, Jlcp(tn) - cp(tv)ll ::; Mltn - tvl;
ainsi la suite ( cp(tn), n E N) est aussi de Cauchy, dans l'espace complet E; elle converge donc. De plus, si
(tn, n E N) et (t~, n E N) sont deux suites de points de ]a, b[ de même limite b, on a pour tout n E !'\!,
llcp(tn)-cp(t~)ll::; Mltn-t~l.Lorsquen--+ +oo, les suites (cp(tn)) et (cp(t~)) convergent et l'inégalité
précédente prouve qu'elles ont la même limite. Ainsi, il existe f. E Etel que, pour toute suite (tn) de points
de ]a, b[ de limite b, la suite ( cp( tn)) converge vers f.. L'application cp se prolonge par continuité au point ben
posant cp(b) = f..
2 a) On peut appliquer à l'équation différentielle x'(t) = f ( t, x(t)) le théorème 2.10: pour toute donnée de
Cauchy (to, x 0 ) E IR x E, il existe une unique solution maximale de cette équation satisfaisant cette donnée de
Cauchy. Soit cp une solution maximale de cette équation différentielle, I son intervalle de définition. Pour tout
t E J, cp'(t) = f (t, cp(t) ), donc suptEJ llcp'(t)ll ::; M. En appliquant le théorème des accroissements finis
entre deux points t et t' E I , on voit que cp est lipschitzienne de rapport M sur J.
2 b) Posons I =]a, b[ et supposons b fini (le raisonnement serait analogue au point a). D'après 1, on peut
prolonger cp par continuité au point b. L'élément (b, cp(b)) de IR x E appartient au bout droit de la solution cp.
L'équation différentielle considérée étant définie sur IR x E, le bout droit de toute solution est vide (théorème 4.3,
ou commentaire 4.4.a). Ayant abouti à une contradiction, nous concluons que b = +oo.
Solution V.2.
1) L'application f est de façon évidente continuesurIR 2 -{ (0, 0) }. En remarquant que t 4 +x 2 ::; 2t 2 lxl, on voit
que pour tout (t, x) # (0, 0), lf(t, x)I ::; 2lt1, ce qui prouve que f est continue au point (0, 0). L'application
f est donc continue sur IR 2 .
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Montrer qu'il existe des valeurs de a pour lesquelles cette équation n'a aucune solution
appartenant à Ei.
Exercice V.8. Soient a, Net C des constantes réelles telles que a > 0, 0 < C < N.
Soit F : lR x 1Rn ~ 1Rn une application continue, satisfaisant aux conditions suivantes :
(i) pour tout t E JR, llF(t, 0)11 ~ ae-Nt,
(ii) pour tout t E lR et tout (X, Y) E ]Rn x ]Rn ,
llF(t,X) - F(t, Y)ll ~ c11x - Yll ·
On considère l'équation différentielle
X'(t) = F(t,X(t)).
(E)
On définit une suite (Xk, k E N) d'applications de lR vers JRn en posant X 0 = 0 et, pour
tout entier k 2 0,
1) Montrer que la suite (Xk) est bien définie et qu'il existe une suite de réels (ck, k E N)
telle que, pour tout réel t, llXk+i(t) - Xk(t)ll ~ cke-Nt.
2) Montrer que la suite (Xk) converge uniformément sur tout intervalle compact de lR vers
une limite X, solution sur lR de (E) telle que l'application t r-t eNt X (t) soit bornée.
3) Montrer que cette solution est l'unique solution X de (E) telle que t r-t eNt X(t) soit
bornée.
4) L'équation (E) peut-elle avoir une solution Y, distincte de X, telle que Y(t) ait pour
limite 0 lorsque t tend vers +oo?
6. Solutions
Solution V.l.
1) Soit (tn, n E N) une suite de points de ]a, b[ de limite b. Étant convergente, cette suite est de Cauchy.
L'application cp étant lipschizienne nous avons, pour tous net p E !'\!, Jlcp(tn) - cp(tv)ll ::; Mltn - tvl;
ainsi la suite ( cp(tn), n E N) est aussi de Cauchy, dans l'espace complet E; elle converge donc. De plus, si
(tn, n E N) et (t~, n E N) sont deux suites de points de ]a, b[ de même limite b, on a pour tout n E !'\!,
llcp(tn)-cp(t~)ll::; Mltn-t~l.Lorsquen--+ +oo, les suites (cp(tn)) et (cp(t~)) convergent et l'inégalité
précédente prouve qu'elles ont la même limite. Ainsi, il existe f. E Etel que, pour toute suite (tn) de points
de ]a, b[ de limite b, la suite ( cp( tn)) converge vers f.. L'application cp se prolonge par continuité au point ben
posant cp(b) = f..
2 a) On peut appliquer à l'équation différentielle x'(t) = f ( t, x(t)) le théorème 2.10: pour toute donnée de
Cauchy (to, x 0 ) E IR x E, il existe une unique solution maximale de cette équation satisfaisant cette donnée de
Cauchy. Soit cp une solution maximale de cette équation différentielle, I son intervalle de définition. Pour tout
t E J, cp'(t) = f (t, cp(t) ), donc suptEJ llcp'(t)ll ::; M. En appliquant le théorème des accroissements finis
entre deux points t et t' E I , on voit que cp est lipschitzienne de rapport M sur J.
2 b) Posons I =]a, b[ et supposons b fini (le raisonnement serait analogue au point a). D'après 1, on peut
prolonger cp par continuité au point b. L'élément (b, cp(b)) de IR x E appartient au bout droit de la solution cp.
L'équation différentielle considérée étant définie sur IR x E, le bout droit de toute solution est vide (théorème 4.3,
ou commentaire 4.4.a). Ayant abouti à une contradiction, nous concluons que b = +oo.
Solution V.2.
1) L'application f est de façon évidente continuesurIR 2 -{ (0, 0) }. En remarquant que t 4 +x 2 ::; 2t 2 lxl, on voit
que pour tout (t, x) # (0, 0), lf(t, x)I ::; 2lt1, ce qui prouve que f est continue au point (0, 0). L'application
f est donc continue sur IR 2 .